Aquesta definició és força descriptiva, però incompleta, i per això diversos matemàtics han intentat de definir la matemàtica tot assenyalant-ne els trets més característics. Així, segons B. Russell, la matemàtica consisteix només en afirmacions tals com “si una proposició és veritable referida a un objecte, aleshores una altra proposició també ho és”, de manera que la matemàtica és aquell camp en què hom no sap mai de què parla ni si allò que diu és veritat o no. Dins aquesta mateixa línia, H. Poincaré diu que els matemàtics no estudien objectes, sinó relacions entre objectes; no els interessa la matèria, sinó la forma. Ja abans, al segle XIX, É. Galois havia caracteritzat la matemàtica com a treball de l’esperit humà que té per finalitat tant d’estudiar com de conèixer, tant de cercar la veritat com de trobar-la. Aquestes opinions reflecteixen la dificultat existent de caracteritzar la matemàtica d’una manera única.
Segons l’objecte particular del seu estudi, la matemàtica es divideix en geometria, àlgebra, anàlisi matemàtica, topologia, teoria de conjunts (conjunt), teoria dels nombres, càlcul de probabilitats i càlcul numèric. A més hi ha unes altres branques que, en el transcurs de llur desenvolupament, s’han separat del tronc comú i s’hi han tornat a confondre. Bé que cadascuna de les parts té uns objectes concrets d’estudi (o els ha tinguts com a branca independent), les tècniques utilitzades són normalment comunes i intercanviables, i fins i tot apareixen en una branca objectes secundaris d’estudi que són els primaris d’una altra. A vegades també es dóna el cas que problemes creats per una branca permeten d’avançar en una altra. Per exemple, el rigor de l’anàlisi durant el segle XIX ocasionà el naixement de la teoria de conjunts, i, en el camp de l’anàlisi i de la topologia, el desenvolupament dels estudis sobre la mesura han provocat un millorament de càlcul de probabilitats. La interpenetració entre branques fa que actualment hom pugui englobar la matemàtica en tres camps: l'àlgebra o matemàtica del discret i dels procediments finits, l'anàlisi o tractament de l’infinit i del continu (damunt la noció del límit) i la topologia o estudi de la continuïtat. De fet, disciplines tan clàssiques com la geometria, en sentit estricte, ja han desaparegut.
El procés d’investigació en la matemàtica funciona de diverses maneres. Cal esmentar, en primer lloc, el procés d’investigació a partir d’un problema de la ciència natural, que requereix una eina de càlcul que encara no és a punt, la creació de la qual té lloc més o menys improvisadament amb vista a aquell objectiu concret i que després resulta d’utilitat per a moltes altres situacions, fins que es desprèn de les característiques particulars que tenia i es generalitza convenientment. Així, l’estudi de la transmissió de la calor fet quantitativament per Fourier el portà al desenvolupament d’una funció en sèrie de funcions trigonomètriques (de tanta utilitat en el camp de la física i de l’electrotècnia), i això menà a la creació, per generalització, de la teoria dels espais de Hilbert, un exemple particular de la qual són les funcions de quadrat sumable. En segon lloc, cal esmentar el procés d’investigació a partir d’un problema matemàtic previ, la resolució del qual té lloc mitjançant la creació d’una nova eina matemàtica que serveix també per a altres camps; és el cas de l’estudi de les funcions abelianes, problema típic d’integració que, gràcies a Hermite, motivà un gran avenç en la teoria dels nombres. En tercer lloc, cal esmentar el procés d’investigació a partir de correccions a un problema ideal; per exemple, l’estudi sistemàtic de les influències entre planetes en el sistema solar ha conduït a l’elaboració de la teoria de les pertorbacions. Un altre tipus de procés d’investigació és el de la generalització de problemes; el càlcul de variacions d’Euler i de Lagrange és una generalització, reeixida, del càlcul de màxims i de mínims iniciat per Fermat i Leibniz. Finalment, hi ha el procés d’investigació per identificació de camps aparentment diversos ( teoria de categories). Aquest procés, basat en el mètode axiomàtic, ha estat molt emprat darrerament. Donats dos cossos de doctrina, A i B, aparentment diversos, hi ha a B un problema que hom no sap resoldre: l’axiomatització de A i B mostra que són cossos de doctrina equivalents, mitjançant un canvi de llenguatge; la qüestió és resolta formulant en termes de A el problema de B. Així, per exemple, la diagonalització de matrius és estudiada a partir de les aplicacions lineals.
El desenvolupament de la matemàtica ha fet que aquesta entrés, tot sovint, en el camp de la lògica. N'hi ha molts exemples, des de Plató fins a la teoria kantiana dels judicis sintètics a priori. Tots els problemes de fonamentació i de formalització van en aquest sentit. Però com que una determinada teoria ha sorgit normalment de l’anàlisi d’una situació particular i els axiomes que la fonamenten solen ultrapassar plenament aquella situació inicial, sorgeix aleshores la conveniència d’utilitzar aquella teoria formal en altres situacions particulars, la qual cosa origina una forta activitat de canvi de llenguatge, a la qual els matemàtics ja estan avesats. Un cop formulada la teoria, si la generalització a partir de la situació inicial ha estat notable, caldrà provar-ne la completesa i el caràcter no contradictori, per la qual cosa hom utilitza els models. Per exemple, la geometria sobre la superfície esfèrica és un model de geometria no euclidiana. Però no sempre hom aconsegueix l’èxit en intentar de provar la completesa i el caràcter no contradictori d’una axiomatització; Gödel ha provat que en l’aritmètica sempre hi haurà proposicions indecidibles (que no podran ésser deduïdes dels axiomes i que, incorporades com a axiomes, no donen resultats nous), com ara l’axioma del continu.
La matemàtica no és subordinada a la ciència natural, i, bé que de vegades sembla que actuï com una de les seves eines, no té només aquest paper. Per exemple, la matemàtica de les geometries no euclidianes no tenia cap relació amb el comportament del món material abans que Einstein formulés la teoria de la relativitat, i, això no obstant, aquesta sorgí setanta anys més tard. Maxwell, per exemple, no hauria pogut formular l’electromagnetisme si no hagués existit la teoria de les equacions en derivades parcials; en aquesta ocasió, la matemàtica anà encara més enllà, puix que predigué fenòmens físics que hom encara no havia observat com és el cas de la propagació de les ones electromagnètiques. Actualment, en branques de l’economia, de la sociologia, etc., la matemàtica, alhora que forneix tècniques per a resoldre problemes plantejats, troba qüestions que la porten cap a nous camins (cadenes de Markov, teoria de jocs, etc.). Durant una bona part de la seva existència, com a conseqüència de les idees de Plató, la matemàtica no introduí en el seu camp la construcció i el perfeccionament de mitjans materials (instruments de dibuix, de càlcul, etc.), considerats com una mistificació de l’essència de la matemàtica. Aquesta consideració porta fins i tot a la classificació de les corbes en geomètriques (que hom podia dibuixar amb regle i compàs) i mecàniques, l’estudi de les quals fou deixat parcialment de banda pels grecs.
Durant molts segles fou emprat l'àbac com a instrument simple i primitiu de càlcul numèric, però a partir de Leibniz i de Pascal hi ha hagut una gran preocupació per a dissenyar i construir alguna màquina de calcular que superés la rapidesa de treball manual dels àbacs. El primer intent seriós de construcció d’una d’aquestes màquines fou fet per Babbage, a Anglaterra, al segle XIX; després, passant pels procediments electromecànics, hom ha arribat als subtils mètodes electrònics d’avui (la màquina, l’ordinador, el calculador, etc), els quals han esdevingut imprescindibles per a tractar problemes amb moltes dades i han arraconat l’estudi de nombroses identitats que, des de la invenció dels logaritmes per J. Napier, eren emprades per a abreujar molts càlculs. Les construccions matemàtiques han estat influïdes tot sovint per motivacions estètiques. La perfecció de les figures circulars (perfecció platònica) influí en tota l’obra astronòmica de Ptolemeu i en les seves successives millores. Però aquesta influència no sempre ha estat negativa: els criteris de simetria en les axiomatitzacions han donat fruits tan profitosos com els aconseguits per les nocions geomètrica i, més tard, algèbrica de dualitat. El treball de generalització del matemàtic és condicionat moltes vegades, conscientment o no, per la recerca de la simplificació; la simplicitat d’una formulació matemàtica és el criteri més convincent. Entre les línies principals del concepte actual de la matemàtica cal esmentar l’enorme varietat dels problemes que tracta, la dificultat per a establir criteris sobre quines coses són realment objecte d’estudi de la matemàtica, el perill d’unificacions que resultin trivials pel fet d’ésser massa generals (això no obstant, les síntesis són desitjables, tant des del punt de vista simplement operatiu com per les grans interrelacions que proporcionen, sempre que llur rigidesa no sigui excessiva ni constitueixin un obstacle al progrés més que no pas un factor de claredat en allò que ja és establert), la creença absoluta en la conveniència del rigor i del paper només secundari i subsidiari de la intuïció, la tendència a fer algèbrics els problemes (com és el cas de l’anàlisi, de la topologia, de la probabilitat i de l’estadística teòrica), la creació d’algorismes fàcils d’utilitzar en les computadores, etc.
Pel que fa als temes actualment més tractats, cal esmentar la teoria de la informació (entorn de la generalització de la noció d'entropia), l'estadística teòrica, l’estudi de la descripció de sistemes segons que tinguin, o no, la propietat ergòdica, la teoria de jocs, la geometria diferencial, la formulació i la resolució de problemes globals (per oposició als locals), en els quals hi ha involucrada tota la varietat considerada i els quals es connecten amb problemes topològics també oberts, i altres problemes topològics relacionats, a la llarga, amb el previsible comportament de la matèria a escala subatòmica; cal esmentar, finalment, la temàtica, sempre inesgotable, de l’axiomatització i de la unificació de notacions i de criteris per a fer definicions.
Història de la matemàtica
Històricament, la matemàtica nasqué com a resposta a problemes experimentals (l’agrimensura egípcia i l’astronomia babilònica), dels quals tragué regles i generalitzacions més o menys intuïtives. En mans dels grecs (Tales, Pitàgores, Plató, Euclides), la matemàtica adquirí l’aspecte de raonament lògic, que mai més no ha perdut; cal assenyalar, en aquest sentit, que en els Elements d’Euclides hi ha, per primera vegada, una formulació axiomàtica en la matemàtica ( geometria). La preferència dels matemàtics grecs pel raonament geomètric els dugué (sota la influència de Plató) a menysprear el càlcul numèric, i només a les acaballes d’aquesta civilització (Diofant d’Alexandria) hom pot trobar resultants notables en aquest camp. Cal esmentar també l’escola pitagòrica de Crotona, mena de societat secreta els membres de la qual a més de proporcionar alguns resultats notables en geometria, creien veure en els nombres el fonament de l’univers.
La contribució de la civilització romana a la matemàtica fou ben minsa, puix que es redueix a la creació dels àbacs amb pedretes (calculi), per a fer els comptes o “càlculs”.
A l’edat mitjana, el centre de l’activitat matemàtica és constituït pel món àrab, que assimilà la matemàtica grega i hellenística d’Alexandria (els Elements d’Euclides, l'Almagest de Ptolemeu, les Cròniques d’Apol·loni de Perge) i hi afegí els progressos hindús sobre el sistema de numeració (com ara la inclusió del zero).
La redescoberta dels originals clàssics i les influències dels àrabs, cap als segles XIV i XV, representaren un nou impuls per a la matemàtica europea, sobretot a Itàlia, que durà fins a l’època de Descartes i que comportà l’elaboració de les tècniques de càlcul per resolució d’equacions de graus 3 i 4 (Tartaglia, Cardano, Bombelli) i la creació gradual de l’actual notació algèbrica. Disposant d’una bona notació (finalment acabada per Viète), Descartes i Fermat es proposaren de conduir els problemes geomètrics cap a problemes d’àlgebra i inventaren els mètodes de la geometria de coordenades o geometria analítica. Resta, però, el problema de les corbes que hom no pot representar per funcions polinòmiques. En aquest punt i en els treballs de Cavalieri sobre àrees i volums hi ha els antecedents més immediats de la creació del càlcul infinitesimal, bé que les primeres idees sobre els seus mètodes (en particular el d’exhaustió) provenen d’Arquimedes.
La invenció de les tècniques del càlcul infinitesimal, feta simultàniament per Newton (càlcul de fluxions i de fluents) i per Leibniz (càlcul diferencial), permeté de fer còmodament l’estudi quantitatiu de la natura; això provocà la creació de tota la mecànica, branca de la física que sempre ha estat relacionada amb l’anàlisi matemàtica, però també originà un encegament dels matemàtics, que es llançaren a calcular amb sèries no necessàriament convergents, la qual cosa provocà nombrosos errors i nombroses manques de rigor, alhora que una gran difusió de les noves idees (L’Hôpital, Euler, Bernoulli). Mentrestant, la geometria prengué un altre tomb, i amb La Hire començà a França una tendència que, en mans de Monge i de Poncelet, cristal·litzà el 1880 en la geometria projectiva, que refusa la utilització de raonaments en coordenades. Fermat i Pascal feren els primers intents d’establir un càlcul de probabilitats, bé que fins al segle XX hom no l’ha incorporat plenament a la matemàtica.
En començar el segle XIX hi hagué, d’una banda, la lluita entre les dues tendències geomètriques (pura i en coordenades), lluita molt profitosa per al progrés del conjunt, la qual es resolgué el 1872 amb el programa d’Erlangen, de Klein; d’altra banda, sorgí el problema de la resolució de les equacions de grau superior a 4, que, estudiat per Lagrange i Gauss, fou resolt definitivament i d’una manera negativa per Galois, alhora que, en fer-ho, creà la noció i la teoria dels grups, primera mostra de les tendències futures de la matemàtica: l’estudi de les estructures. El segle XIX es caracteritzà també pel gran caos de la manca de rigor en l’anàlisi, que Cauchy reformulà tot definint clarament la noció de límit, i per una preocupació pels fonaments de la matemàtica, sobretot de la geometria, que es concretà en els dubtes que hom tenia sobre el paper de l’axioma d’Euclides sobre les paral·leles. Els treballs anteriors de Sacchieri i Lambert foren continuats per Gauss, Bolyai i Lobačevskij, fins a arribar a formular geometries en les quals aquell postulat era modificat. En mans de Riemann les noves geometries es generalitzaren, i aparegueren els primers antecedents de la topologia i del càlcul tensorial diferencial. Durant el segle XIX continuà l’ampliació de les nocions d’estructura i les relacions entre elles (a Anglaterra hom creà els espais vectorials, i a Alemanya, les nocions de cos, anell i ideal), foren estudiats els diferents tipus de funcions (Cauchy, amb les de variable real, bo i deixant clara la diferència entre continuïtat i derivabilitat), fou resolt el problema de l’estructura lògica del cos dels nombres reals (treballs de Meray, Weierstrass, Dedekind i altres) i fou inventada la teoria de conjunts, tant per al tractament de problemes de funcions com per a qüestions dels infinits (Cantor). Els qui cercaven la fonamentació lògica de la matemàtica s’obriren pas amb els treballs de Boole i De Morgan a Anglaterra, de Peano a Itàlia i de Frege a Alemanya.
En acabar el segle XIX semblava evident que el mètode axiomàtic era l’únic capaç de posar ordre en la quantitat immensa de coneixements adquirits. Així, el 1900 Hilbert formulà una axiomatització de la geometria segons la qual les idees intuïtives no influeixen sobre els conceptes primitius, els quals hom no pretén de definir, sinó només de caracteritzar mitjançant els axiomes. Aquesta axiomatització de Hilbert ha restat com a model d’allò que hauria d’ésser una axiomatització vàlida per a tota la matemàtica. Cal afegir que aquell mateix any Hilbert proposà una llista de 23 problemes que resumien els punts concrets que, segons l’opinió de la majoria, calia aclarir com més aviat millor. Actualment, només n'han estat resolts uns quants (Hasse, Artin, Kolmogorov, Gödel, Cohen, etc.). Seguint més la línia de l’aritmètica i els treballs de Peano i de Frege, els anglesos Russell i Whitehead elaboraren un tractat (Principia mathematica) on tota l’aritmètica era organitzada damunt l’axiomàtica de la teoria de conjunts. Des d’aleshores, els treballs de fonamentació no han parat, i actualment hi ha un grup que, sota el pseudònim de Bourbaki, publica un treball immens que pretén de contenir tota la matemàtica actual, exposada coherentment i de la manera més econòmica possible. Hi ha hagut algunes crítiques contra un possible excessiu formalisme d’aquesta exposició, però aquestes crítiques no neguen, tanmateix, la necessitat de fer-ho.
Durant el segle XX, no tots els treballs es refereixen a la fonamentació de la matemàtica. Hom avança, més ràpidament que mai, en diversos camps, com ara en les successives generalitzacions de la noció d’integral i de la noció integrada de mesura (Lebesgue), que permet de formular rigorosament la teoria de la probabilitat (Kolmogorov, 1933), en la generalització de la noció de funció, tot creant la de distribució, de tanta utilitat tècnica (Schwartz), i en tota la formulació de la teoria de jocs i de decisions (Von Neumann), molt desenvolupada a partir del 1939. La rapidesa en el progrés darrer de la matemàtica ha estat facilitada pel gran nombre de revistes que publiquen resultats nous (com ara “Collectanea Mathematica”, que es publica a Barcelona) i per les dedicades només als resums i a l’inventari dels treballs publicats en les anteriors. Bé que algunes d’aquestes revistes van a càrrec de societats editores, la majoria han nascut a recer d’una societat matemàtica o d’una facultat universitària. Les primeres societats d’aquest tipus que encara existeixen són les d’Hamburg (des del 1690) i d’Amsterdam (des del 1778). Atès que el premi Nobel no existeix per a la matemàtica, hom pot trobar-ne un equivalent en la medalla Fields.
La matemàtica als Països Catalans
Hom no pot parlar d’una tradició matemàtica als Països Catalans, car són poques les obres d’aquesta disciplina que han aparegut en català. Un dels motius d’aquesta situació és que l’exercici de la matemàtica ha estat sempre minoritari arreu, i gairebé totes les obres, atès el caràcter universal de la matèria, han estat escrites en llengües majoritàries. Així, el llatí, que fou el vehicle usual durant segles en la redacció matemàtica, anà després cedint el pas al francès, a l’alemany i, actualment, a l’anglès. Cal, doncs, parlar de matemàtics catalans i no d’una matemàtica catalana tradicional, però cal també destacar els esforços actuals que hom fa per la normalització de l’ús del català en la redacció cientificomatemàtica. Al segle XIII cal esmentar Arnau de Vilanova, amb el Computus ecclesiasticus et astronomicus, i Ramon Llull, que usà figures geomètriques en la seva Ars magna i un simbolisme per a representar conceptes en el qual hom reconeix un inici de l’àlgebra (Descartes, que coneixia molt bé l’obra lul·liana, en féu esment en tots moments en la seva obra escrita); la producció lul·liana comprèn també l’aritmètica i les ciències en general. Sembla que en aquesta època Catalunya tingué un paper important en la transmissió a Europa de l’ús del sistema de numeració posicional de base 10 que la cultura àrab importà de l’Índia i que usà com a propi. Al segle XIV, Jacob Poël de Perpinyà (mort el 1377) treballà en taules astronòmiques. El 1512 Joan d’Ortega, nat a Aragó, publicà una aritmètica comercial a Barcelona i a Lió, que fou un dels primers llibres de matemàtiques impresos després de la introducció de la impremta als Països Catalans i que assolí una gran popularitat. Cap al 1537 estudià a València Jeroni Muñoz el qual, després d’una estada a Itàlia, romangué deu anys a la Universitat de València. Aquests són els antecedents més remots de la matemàtica catalana.
Pel que fa al segle XX, cal recordar les figures de Pere Puig i Adam, renovador de l’ensenyament de la matemàtica i professor a l’Institut-Escola de la Generalitat, Antoni Torroja i Miret, catedràtic de la Universitat de Barcelona, Josep M. Orts i Aracil, catedràtic i fundador del Seminari Matemàtic de Barcelona el 1944, David García Bacca, autor d'Introducció a la Logística (1934) i Assaigs moderns per la fonamentació de les matemàtiques (1934), Ferran Sunyer i Balaguer, que publicà a l’IEC diversos treballs en català on aportà una forta renovació del lèxic (Una nova generalització de les funcions gairebé-periòdiques. Sobre un espai de funcions enteres d’ordre finit), Joaquim Torrens-Ibern, catedràtic de l’Escola Tècnica Superior d’Enginyers Industrials de Barcelona i autor de Tècniques cumulatives de control, Pere Pi i Calleja, un dels renovadors de l’ensenyament de matemàtica a les escoles tècniques (juntament amb Julio Rey Pastor), Lluís Santaló, potser el més il·lustre matemàtic català d’aquest segle, autor de L’educació matemàtica, avui, i Eduard Bonet i Guinó, autor d'Espais de probabilitat finits (amb la col·laboració de Gabriel Ferrater) i Fonaments d’estadística, així com un dels autors (“Propietats ergòdiques dels processos aleatoris valorats en espais mètrics compactes”) del compendi d’articles científics catalans Una lleu sorra, en el qual també col·laboraren Enric Trillas i Ruiz (“Intent d’aproximació al concepte d’estructura mètrica”) i David Nualart i Rodon (“Martingales i derivació”). Entre els llibres de text elementals de matemàtica cal esmentar el Curs d’aritmètica, de Leopold Crusat, i les Matemàtiques del treball, d’Emili Vallès, ambdós del 1932, com també algunes obres de l’Escola del Treball i de l’Extensió d’Ensenyament Tècnic, que anaren apareixent fins el 1939. Entre els llibres publicats posteriorment hi ha els de Fem Matemàtica, de Maria Rubiés.