El resultat d’un problema pot ésser de natura molt diversa; cal distingir, dins la matemàtica, els problemes de calcular, els problemes de construir i els problemes de demostrar. En els problemes de calcular, és possible que per analogia amb altres problemes ja coneguts hom pugui aplicar unes regles que donen directament la solució, que pot constar d’un o més nombres. Quan aquestes regles no són fàcils de descobrir hom recorre a expressar algèbricament les condicions de l’enunciat, és a dir, expressar per mitjà d’equacions les relacions entre les dades i les incògnites del problema; si aquestes equacions poden ésser resoltes donen la solució del problema, i si són incompatibles asseguren que el problema proposat no té solució. En els problemes de construir, hom demana generalment una figura geomètrica que compleixi certes condicions; l’estudi d’aquestes condicions ha fet desenvolupar el mètode d’anàlisi, que consisteix a dibuixar una figura que hom suposa que compleix les condicions del problema i deduir successivament relacions que haurien de complir-se com a conseqüència d’aquelles condicions. Si entre aquestes noves qüestions hom en troba alguna de construcció coneguda, hom ha avançat en la resolució del problema. Sovint entre les relacions que ha de satisfer la figura cercada es plantegen relacions algèbriques, que amb un tractament adequat poden conduir a una expressió que pugui ésser construïda més fàcilment. Precisament Descartes, cercant un “mètode universal per a la resolució de problemes”, establí la correspondència entre punts del pla i parells de nombres reals que ha estat l’origen de la geometria analítica, també anomenada, a vegades, geometria cartesiana. Un pas essencial en la resolució d’un problema és l’elecció oportuna de la incògnita o element auxiliar que es tractarà de determinar en primer lloc. El reeiximent d’un problema depèn sovint d’aquesta elecció. En els problemes de demostrar, l’enunciat ja diu quines són les premisses i la conclusió; falta una cadena de raonaments que condueixi de les premisses a aquesta conclusió. Hi ha problemes que han estat enunciats i pendents de resolució durant molts segles. La quadratura del cercle i la trisecció de l’angle foren enunciats pels grecs, que els consideraren irresolubles, i, en efecte, no poden ésser resolts amb els mitjans que admetia com a lícits la geometria grega (regle i compàs). Les equacions de tercer grau (s. XVI) i la teoria de les successions (s. XIX) han precisat i resolt aquests problemes. Un problema de demostració fou proposat per Fermat al s. XVII i encara no ha estat resolt ni hom ha demostrat que no es pugui resoldre en el cas general (gran teorema de Fermat).
m
Matemàtiques