Estudià a la Llotja de Barcelona, i participà a l’Exposició Internacional d’Art de la ciutat. L’any 1917 es desplaçà a Madrid on visqué amb el seu cosí, el també escultor Julio Antonio. A la mort d’aquest, Costa es traslladà a America del Sud fins el 1925, quan retornà a Madrid. Exposà nombroses vegades a Madrid, Barcelona, Vigo, Reus, Saragossa i Móra d’Ebre. La seva obra escultòrica (El remador, de bronze; Els sirgadors, de pedra calcaria de Calatorao; Els segadors, també de pedra calcària; etc.) i pictòrica (El carrer de la Barca de Móra d’Ebre, Sínia, Miravet, La Picossa, L’Ebre prop de Móra) recorda constanment les seus arrels riberenques.
L’any 1983 cedí tota la seva obra al Museu d’Art Modern de Tarragona.