sèrie

f

Matemàtiques

Suma indicada d’un conjunt finit o infinit ordenat de termes.

La teoria de sèries s’ocupa especialment del cas infinit numerable. Així, una sèrie és donada per una successió de nombres a₁ , a₂ , ..., a n , ... (on a n és dit terme general n -èsim de la successió) i una successió associada formada per les sumes parcials a ₁, a 1 + a ₂, a ₁ + a ₂ + a ₃, ..., a ₁ + ... + a n , ... Simbòlicament hom representa una sèrie per

, o bé a ₁ + a ₂ ... + a n + ... Si la successió de sumes parcials és convergent cap a un límit S , hom diu que la sèrie és convergent i de suma S

. En cas de no existir aquest límit, la sèrie és dita divergent . Una sèrie és dita positiva o negativa segons que tots els nombres que la determinen siguin positius i negatius. Una sèrie és anomenada creixent o decreixent (o també, ascendent o descendent ) si els nombres determinats de la sèrie formen respectivament una successió creixent o decreixent de valors. Tota sèrie creixent és necessàriament divergent. Si una sèrie

és convergent, aleshores la successió ( a n ) té límit zero, però el recíproc no és generalment cert. Per exemple,

divergeix i, per contra, 1/ n tendeix a zero. Una sèrie és dita alternada si els signes dels termes de la successió determinant són alternativament positius i negatius. Una sèrie alternada és convergent si i només si el seu terme general tendeix a zero. Una sèrie és absolutament convergent si la sèrie dels valors absoluts dels termes de la sèrie

és una sèrie convergent. Per a sèries de termes positius hi ha diferents criteris de convergència ; els més coneguts són el de Cauchy , segons el qual si

aleshores

és convergent, i si

, la sèrie és divergent; el de D’Alembert , que afirma que si

, aleshores

convergeix, i si

, la sèrie divergeix; el de Raabe , que diu que si

, la sèrie convergeix, i si el límit és menor que 1, aleshores divergeix. La suma de dues sèries

i

és definida per la sèrie

producte d’ambdues mitjançant

. Si dues sèries són absolutament convergents, la seva suma i el seu producte també ho són. Una sèrie és anomenada aritmètica o geomètrica , segons que els seus termes formin respectivament una progressió aritmètica o geomètrica. Una sèrie geomètrica a + ar + ar 2 + ar 3 + ... + ar n-1 , amb raó r menor que 1, és convergent i té per suma a /(1— r ). Per exemple,

1/2 n = 1. Una sèrie és dita harmònica si els recíprocs dels seus termes formen una sèrie aritmètica. Per exemple, la sèrie

és harmònica. La sèrie factorial és

. Les sèries

, que tenen un especial interès estadístic, són convergents per a p major que 1 i divergeixen per a p menor que 1 o igual a 1. Cal remarcar que amb els mateixos termes numèrics hom pot, alterant-ne l’ordre, fer una altra sèrie, dita reordenada de l’anterior. Si una sèrie és absolutament convergent, totes les seves reordenacions també ho són i tenen la mateixa suma. Així, la teoria de sèries numèriques permet de resoldre el problema de sumar una infinitat de termes com un pas al límit de sumes finites.