En l’espai vectorial de tres dimensions ℝ3 els subespais són el mateix espai, l’origen de coordenades i totes les rectes i els plans que passen per l’origen. F és un subespai de E si, donats qualssevol x,y de F i λ de K, aleshores la combinació lineal x,-λy pertany a F. Tota família de vectors determina l’anomenada envolupant lineal, o mínim subespai, que els conté. La intersecció M ∩N de dos subespais M i N és un subespai, però la reunió M ∪N no ho és en general. La suma M + N definida per a tots els vectors que són suma d’un element de M i un de N és el mínim subespai que conté la reunió. En el cas de dimensió finita es compleix la fórmula de Grassman: dim M+dim N = dim (M+N) + dim (M ∩N). Si M i N són subespais de E, hom anomena suma directa M ⊕N la seva suma M+N quan M ∪N= {0}. Si M ⊕N = E, els subespais són dits suplementaris. Si existeix en E un producte escalar, l'ortogonal N⊥d’un subespai N és el subespai format per tots els vectors ortogonals a qualsevol element de N. Aleshores N+N⊥ és anomenada suma ortogonal. Donada una transformació lineal T de l’espai vectorial E, un subespai F és dit invariant si mitjançant T es transforma en ell mateix: T(F) = F. En tota transformació lineal T entre dos espais vectorials E i E’ són associats dos subespais: el nucli de T, KerT, format pels elements de E que tenen com a imatge per T el vector zero, i la imatge de T, formada pels elements de E que són imatge d’elements de E per T. La dimensió del nucli més la dimensió de la imatge és igual a la dimensió de l’espai de partida. En geometria mètrica hom estudia els subespais invariants per a les isometries o moviments rígids; en geometria afí, els invariants per a les afinitats; en geometria projectiva, els invariants per a projectivitats. En aquest darrer cas té un paper essencial l’estudi dels anomenats subespais de l’infinit (recta de l’infinit, pla de l’infinit, etc).
m
Matemàtiques