Així, 1/2, 1/3, ..., 1/n, ... i x, 2x2 , 3x3 , ..., nxn , ... són successions. Hi ha també successions de funcions, de variables aleatòries, etc. Tota successió, anomenada també seqüència, pot ésser finita (a1, a2 , ..., an ) o infinita (a1, a2 , ..., an ,...). El terme an és dit terme n-èsim (enèsim) o terme general. Donar una successió infinita pressuposa donar aquest terme general, és a dir, una llei de recurrència. Un punt P és dit punt d’acumulació d’una successió (an ), si en tot entorn de P hi ha infinits termes de la successió. La successió 1, 1/2, 1, 1/3, ..., 1, 1/n, ... té dos punts d’acumulació: 0 i 1. En les successions de nombres reals el major punt d’acumulació és dit límit superior de la successió, i el menor límit inferior de la successió; quan els dos límits coincideixen, hom diu que la successió té de límit aquest valor comú. En concret, (an ) té límit a si, donada qualsevol quantitat positiva ε, a partir d’un lloc n0 , els termes de la successió disten de a menys de ε, és a dir, que ¦an-a¦ n ≥n0 . Si el límit existeix i és únic, la successió és dita convergent; en el cas contrari, és divergent. Una successió de nombres reals (an ) és anomenada regular o de Cauchy si per a tot positiu existeix un lloc n0 a partir del qual els termes de la successió disten entre ells menys de ε, és a dir si ¦an-am ¦ n, m ≥n0 . La recta real és dita completa perquè tota successió de Cauchy té límit, i, recíprocament, la convergència implica la regularitat. Una successió és dita monòtona si els seus termes són ordenats, ja sigui d’una forma creixent o bé decreixent. Hom diu que una successió té límit infinit (+∞) si per a tot nombre real positiu M existeix en termes més grans que M. Una successió és dita fitada superiorment (o inferiorment) si existeix un nombre (fita) més gran (o més petit) que tots els termes de la successió. En la recta real tota successió monòtona creixent fitada superiorment té límit. Així, tot nombre irracional pot ésser obtingut, seguint aquest criteri, com a límit d’una successió de racionals. Els espais de successions són d’especial interès en anàlisi funcional. Una successió molt coneguda és la successió de Fibonacci.
f
Matemàtiques