Si E
és un espai vectorial de dimensió n
sobre un cos algèbric K
, hom defineix el tensor covariant d’ordre r
com una aplicació
T r
definida en
E X E X... r
X E = E r
, i per a valors en K
tal que és lineal en cada component, és a dir, que per a i=
1, 2, 3, ..., r
es compleix:
a)
T r
( x
₁, ..., x i
+ y i
, ..., x r
) =
T r
( x
₁, ..., x i
, ..., x r
) +
T r
( x
₁, ..., y i
, ..., x r
)
b)
T r
( x
₁, ..., λ x i
, ..., x r
) = λ
T r
( x
₁, ..., x i
, ..., x r
)
Els tensors covariants d’ordre 1 formen l’espai E*
, anomenat dual de E
, és a dir, el conjunt d’aplicacions lineals de E
en K
. E
* és, alhora, un espai vectorial de dimensió n
. Un tensor contravariant d’ordre s
és una aplicació
T s
definida en
i per a valors en K
tal que és lineal en cada component, és a dir, que compleix les propietats (a) i (b) anteriors però relatives als elements del dual E
*. Els tensors contravariants d’ordre 1 s’identifiquen amb els mateixos vectors de E
. Un
tensor mixt r vegades covariant i s vegades contravariant T r s
és una aplicació de
E r
× ( E *
) s
en K
, que és lineal en cada component. Qualsevol tensor dels descrits anteriorment és anomenat simètric
si pren valors iguals qualsevol que sigui l’ordre de col·locació dels vectors (invariant per permutacions), i és anomenat hemisimètric
si, en efectuar una permutació dels seus vectors, el valor del tensor resta multiplicat per (-1) l
, on l
és el nombre de transposicions (permutacions binàries) en què es descompon la permutació efectuada. Així, el producte escalar és un tensor covariant d’ordre 2, simètric; tot determinant d’ordre n
és un tensor covariant d’ordre n
hemisimètric (o alternat). Dos tensors mixts
T r s
i
T r
' s
amb iguals ordres donen lloc al
tensor suma T r s
+ r
' s
, definit en
E r
× ( E *
) s
per a valors en K
mitjançant (si a
∈
E r
× ( E *
) s
): (
T s s
+
T' s r
) ( a
) =
T s r
( a
) —
T s r
( a
). Hom defineix el producte tensorial
de dos tensors contravariants
T r
i
T s
, anotat
T r
⊗
T s
, com un nou tensor contravariant d’ordre r
+ s
, mitjançant la relació: (
T r
⊗
T s
) ( x
₁, ..., x r
, y
₁, ..., y s
) =
T r
( x
₁, ..., x r
)
T s
( y
₁, ..., y s
). En l’expressió explícita d’un tensor qualsevol hom sol utilitzar el conveni d’Einstein
, segons el qual, quan en una expressió monòmica figurin dos índexs repetits, cal entendre que es tracta d’una suma en la qual els esmentats índexs van sumats d’1 a n
. Per exemple, T
( a
, b
) =
a i
b i
representa el producte escalar abans considerat. El tensor de Kronecker
té com a components els símbols de Kronecker, donats per δ i j
= 1, si i
= j
, δ i j
= 0, si i
≠ j
. Un tensor és dit isotròpic
si té les mateixes components en qualsevol sistema de coordenades. Els únics tensors isotròpics d’ordre dos són els múltiples escalars λδ i j
(λ constant) del tensor de Kronecker. El tensor d’inèrcia
és un tensor simètric que té com a components les quantitats
(amb i
, j
= 1,2,3, i
≠ j
), essent (
x h
₁,
x h
₂,
x h
₃) per h
=1,2, ..., n
les coordenades de n
punts on hi ha concentrades unes masses m₁
, m₂
, ...,
m n
. Aquest tensor d’inèrcia permet de calcular el moment d’inèrcia I
del sistema de punts respecte a una recta per l’origen amb vector director unitari ( l₁ l₂ l₃
):
I = I i
j
l i
l j
. El tensor de deformació
té com a components les mesures de les deformacions en diferents direccions que són motivades per una deformació infinitesimal aplicada a un cos (d’una manera mecànica o termodinàmica). El tensor de tensions
té com a components les tensions en les diferents direccions a què és sotmès un cos continu al qual és aplicada una força externa. Anàlogament hom defineix el tensor d’elasticitat
. La teoria tensorial és essencial en la formulació de multitud de problemes físics: la teoria electromagnètica de Maxwell, la teoria gravitacional, la teoria de la relativitat, etc. El tensor de curvatura de Riemann-Christoffel
és un tensor una vegada contravariant i tres vegades covariant, definit per
on { i j k
} són els símbols de Christoffel de segona classe, lligats a l’espai de Riemann, on és considerada una forma diferenciable. Per contracció d’índexs, R k α β k
dóna el tensor de Ricci-Einstein
, fonamental en la teoria gravitacional relativista. La teoria tensorial és també lligada a l’estudi de geometries riemannianes i no riemannianes, com també a l’estudi de superfícies en espais euclidians i no euclidians.