El conjunt de les transformacions d’un conjunt en ell mateix té estructura de grup respecte a la composició de transformacions (la composició en el sentit d’aplicar successivament de manera ordenada dues transformacions és anomenada també producte). Segons la definició de Felix Klein, la geometria és l’estudi de les nocions invariants per a un grup de transformacions (geometria). Com a exemples de transformacions en el pla poden ésser esmentades les rotacions, les simetries axials, les translacions, etc; i en l’espai, les simetries respecte a un eix o a un pla, les rotacions axials, etc. Segons les propietats específiques de les transformacions, aquestes reben diversos noms; així, hom parla de transformació ortogonal, lineal, isogonal, isocora, topològica, algèbrica, etc. Les transformacions lineals definides com a morfismes bijectius (isomorfismes) entre espais vectorials són anomenades moviments. Un teorema fonamental d’àlgebra (Cayley) demostra que tot grup és representable com un grup de transformacions. Són d’especial interès en l’estudi del pla complex les transformacions conformes que conserven els angles (representació conforme).
f
Matemàtiques