Començà a jugar a sis anys, i a catorze prengué part en els primers torneigs. Campió júnior de l’URSS l’any 1943, des d’aleshores jugà sempre a un primer nivell mundial fins a la primera meitat dels anys vuitanta (l’any 1985 encara disputà el campionat del món). Es mantingué actiu gairebé fins a la mort en l’estudi de resolució de problemes i competí fins al 2001.
L’any 1950 obtingué el títol de Gran Mestre de la Federació Internacional d’Escacs (FIDE), i formà part de la primera fornada de jugadors als quals s’atorgà aquest títol. Del seu palmarès, en sobresurt el campionat del món del 1957 (que guanyà a Mikhail Botvinnik, el qual l’any següent el derrotà), competició que disputà vuit vegades del 1949 al 1985, i en l’equip de l’URSS obtingué disset vegades medalles en l’Olimpíada d’Escacs i deu medalles d’or als campionats d’Europa. Destacà en el joc posicional i en les obertures i fou autor de diversos llibres sobre tàctica i estratègia. Fou també un notable baríton.