El volum és una mesura que a tota regió de l’espai de tres dimensions assigna un nombre real positiu, de manera que es compleix la propietat additiva, és a dir, que el volum d’un cos és igual a la suma dels volums de qualsevol partició que hom hagi fet en el cos (divisió del cos en parts disjuntes). Prenent com a base que el volum assignat a un cub de costat a és a 3 , el volum de qualsevol altre cos pot ésser calculat com l’ínfim de la suma dels volums dels cubs disjunts que plegats cobreixen el cos. Així, el volum d’una figura plana és zero. El volum dels cossos geomètrics simples pot ésser calculat a partir de certes dimensions longitudinals del cos i àrees de porcions planes d’aquest. Els volums de dos cossos semblants són proporcionals als cubs de les distàncies entre els punts de correspondència. Hom anomena element de volum dV la mesura de cadascuna de les parts infinitesimals en què divideix un cos a l’hora de calcular-ne el volum. En coordenades cartesianes és dV = dx dy dz ; en coordenades esfèriques ( r , φ, ϕ) és dV = r 2 cos ϕ dr d φ d ϕ; i en coordenades cilíndriques (ρ, φ, z ) és dV = ρ d ρ d φ dz . El volum del cos pot ésser obtingut així per integració triple de l’element de volum, o sia per l’expressió:
on z 1 i z 2 , són constants, y 1 i y 2 , poden ésser funció de z , i x 1 , x 2 poden ésser funcions de y i/o de z , i aquestes funcions depenen de la forma particular de la superfície que limita el volum. El volum d’un cilindroide limitat a sobre per una superfície z = ( x , y ), a sota pel pla z = 0, i lateralment per la superfície cilíndrica recta que talla en el pla x o y el recinte S , és igual a la integral doble expressada per V = ∫∫ S f ( x, y ) dx dy .
fototeca.cat
©