Inicià estudis al Conservatori de Kíev i, en esclatar la Revolució Russa, abandonà el seu país i els continuà a la capital francesa, a la classe de Lazare Lévy. L’any 1923 oferí tres concerts que el donaren a conèixer en l’ambient parisenc i el 1925 inicià la seva carrera internacional com a concertista, que el portà a diversos països d’Europa i Àsia i als Estats Units. L’any 1932 guanyà el Concurs Internacional de Piano F. Chopin a Varsòvia. Al principi de la Segona Guerra Mundial s’allistà a l’exèrcit francès, però el 1941 se n’anà a l’Amèrica del Sud, on aconseguí èxits importants fent concerts. El 1943, una actuació al Carnegie Hall contribuí a incrementar el seu prestigi i a partir de llavors fou considerat com un nou I.J. Paderewski. El repertori d’A. Uninski comprenia de J.S. Bach a S. Prokof’ev, però amb una especial dedicació als romàntics, concretament F. Chopin.