Estudià amb L. Fago, N. Sala i N. Tarantino al Conservatorio della Pietà dei Turchini de Nàpols, ciutat on estrenà la seva primera òpera, L’archetiello, el 1778. Tres anys més tard es traslladà a Roma per a la representació de les seves òperes. A partir d’aquest moment viatjà molt per a fer conèixer la seva obra. Fou un període molt productiu per a Tarchi, durant el qual estrenà entre quatre i sis òperes cada temporada, indiferentment de gènere buffo o dramàtic. En 1786-87 presentà al Teatro alla Scala de Milà quatre títols nous, entre els quals Il Conte di Saldagna (1787), la seva obra més apreciada. El ressò del seu èxit li permeté viatjar també a Londres i París, on es traslladà definitivament el 1797. A la capital francesa continuà la seva activitat, però es dedicà exclusivament a compondre opéras-comiques. Des del 1802 i gairebé fins a la seva mort exercí la docència. Tarchi fou un dels últims compositors de l’Escola Napolitana, autor de més de cinquanta òperes entre drames i opere buffe, algunes de les quals també en francès escrites per a l’Òpera Còmica. Fou molt estimat pel públic i els intèrprets gràcies a unes melodies agradables i encisadores, que sempre ressaltaven sobre les parts instrumentals. Així mateix compongué música instrumental i sobretot sacra, on aprofità els recursos tímbrics que ofereixen l’alternança de cors i conjunts instrumentals.