Inicià els seus estudis al Conservatori Musical La Lira de Montevideo i més tard es traslladà al Conservatori de Música de Brussel·les, on estudià violí amb C. Thomson i composició amb A. De Boeck. Destacà com a violinista i el 1903 guanyà el primer premi i la medalla d’or de violí d’aquest darrer centre. Durant els anys següents visqué entre l’Uruguai i Europa tot realitzant concerts i component ocasionalment, fins que el 1914 decidí dedicar-se exclusivament a la composició. El 1922, l’estrena a Montevideo del seu poema simfònic Campo, ple de referències al folklore de la seva terra natal, erigí Fabini en el màxim representant del nacionalisme musical uruguaià. També es poden trobar altres mostres d’aquesta tendència en obres orquestrals, com Melga sinfónica (1931), o en el ballet Mañana de Reyes (1936-37). Conreà diversos gèneres, des de música escènica i de cambra fins a música vocal o per a instrument sol.