De molt jove anà a Madrid i rebé formació musical al conservatori d’aquesta ciutat. El 1923 es traslladà als Estats Units per cursar la carrera de dret a la Universitat de Stanford (Califòrnia). Un cop allà, però, optà per dedicar-se exclusivament a la música i estudià composició amb E. Bloch i direcció d’orquestra amb A. Hertz. El 1926 anà a Anglaterra i ingressà a la Universitat de Cambridge, on estudià dret i creà un conjunt estudiantil anomenat Quinquaginta Ramblers. Elizalde s’interessà vivament pel jazz, així ho demostren peces com Siam Blues (1927) o Vamp till Ready (1933), ambdues per a piano. El 1930 fou nomenat director de l’Orquestra Simfònica de Manila i el 1933 es traslladà a Espanya i establí una sòlida amistat amb M. de Falla i el poeta F. García Lorca, molts dels textos del qual musicà, com ara Los títeres de Cachiporra i Don Perlimplín. Participà en la Guerra Civil Espanyola i, el 1939, un cop acabat el conflicte bèl·lic, s’establí a França. El 1948 tornà a Manila, on fou nomenat president de la Manila Broadcasting Company, tasca que compaginà amb la de compositor i director de l’Orquestra Simfònica de Manila i també de la Petita Orquestra Simfònica de Manila, formació orquestral creada per ell mateix el 1948.