Pertanyia a una família genovesa noble d’origen albanès provinent de Durrës i des de jove s’interessà per tot el que es relacionava amb el teatre. El 1749 fou nomenat ambaixador de Gènova a Viena i el 1752 rebé el càrrec d’ajudant del comte Franz Esterházy, llavors director teatral a Viena, i quan aquest va dimitir, Durazzo quedà com a a únic director d’espectacles. La seva gestió i les seves idees artístiques li comportaren l’enemistat d’algunes de les personalitats musicals de la Viena del moment, com ara el mestre de capella J.A. Reutter. El 1760 fou nomenat cavagliere di musica, però hagué de dimitir el 1764, a causa de les intrigues de Reutter i també per qüestions financeres. Poc després fou designat ambaixador de la cort vienesa a Venècia, càrrec que ocupà fins el 1784. Col·laborà amb C.W. Gluck i altres músics per tal de reformar l’òpera del seu temps. Segons Durazzo, a l’òpera, el drama i el text havien de tenir el mateix pes que la música, i aquesta darrera en aquell moment tenia un protagonisme excessiu. Durazzo propugnava una síntesi de l’òpera francesa i la italiana, tot agafant els elements més positius de cada una. La seva influència en el camp de l'opera seria, l'opera buffa i el ballet del segle XVIII foren decisives per al posterior desenvolupament d’aquests gèneres. Les seves aspiracions reformistes toparen, però, amb els sectors més conservadors.