Deixeble de M. Wührer i A. Illesberg, estudià al Conservatori Verdi de Trieste, centre on rebé la diplomatura de piano el 1931 i la de composició l’any 1937. Viozzi destaca per un catàleg ampli i variat. Fins els anys cinquanta es dedicà bàsicament a la composició de música de cambra i fou al principi d’aquesta dècada que començà a compondre per a l’escena. La seva opéra-comiqueAllamistakeo (1954), basada en Some Words with a Mummy, d’E.A.Poe, fou estrenada al Teatro alla Scala de Milà sota la direcció de L. Maazel i gaudí d’un èxit considerable. Però la que es considera la seva obra mestra és la tragèdia Il sasso pagano (1961). Escriví un total de sis òperes i quatre ballets, a més d’obres corals, cançons i música de cambra. El seu llenguatge combina de manera molt personal les influències de R. Strauss, B. Bartók, I. Stravinsky i S. Prokof’ev.