Nascut en el si d’una família de músics, començà a estudiar violí essent encara infant, i de molt jove s’interessà per la música tradicional del seu país. El 1917 es doctorà en dret i començà a treballar en aquesta especialitat, però dos anys després formà un trio de cordes i decidí anar a les aleshores Índies Orientals holandeses per oferir concerts i impartir conferències. Durant aquesta gira per Java i Sumatra descobrí la música de gamelan i n’emprengué l’estudi des de la perspectiva etnomusicològica. Del 1930 al 1934, per encàrrec del govern i mitjançant diversos treballs de camp per l’arxipèlag indonesi, Kunst formà un important arxiu d’instruments musicals, fonogrames, fotografies i llibres sobre música indonèsia a Batàvia (actualment Djakarta). El 1934 tornà als Països Baixos, i el 1936 esdevingué conservador del departament d’antropologia del reial Tropeninstitut d’Amsterdam. El 1942 començà a ensenyar etnomusicologia a la Universitat d’Amsterdam, de la qual fou professor numerari des del 1958. L’any següent fou nomenat president de l’International Folkmusic Council i president honorari de la Society for Ethnomusicology.
Considerat un dels fundadors de l’etnomusicologia moderna, amb el seu llibre Ethno-musicology (1955), Kunst contribuí al canvi de denominació de la disciplina tot substituint el vell nom de musicologia comparada pel d’etnomusicologia. Moltes de les seves publicacions sobre música indonèsia han esdevingut obres de referència obligada per a la cultura musical d’aquest país, a més de ser un referent teòric per a l’etnomusicologia en general.