Per les notables aptituds musicals que demostrà ja des de petit, fou enviat a Mòdena a estudiar amb el castrat Caironi, primer, i, després, amb el tenor Albuzzi. El 1765 anà a Milà per perfeccionar-se amb G.A. Fioroni (mestre de capella del Duomo) i el 1773 debutà a Roma en una òpera de P. Anfossi. El 1778 interpretà el seu primer paper com a protagonista, al Teatre San Carlo de Nàpols, i a partir d’aquest moment inicià una carrera triomfal a les principals ciutats europees com a especialista en el repertori patètic. Del 1788 al 1790 residí a Londres, on obtingué un gran èxit en el paper de soprano al Giulio Sabino de G. Sarti. De nou a Itàlia, adoptà una clara posició en contra de l’ocupació de Napoleó i fins i tot rebutjà de cantar per a l’emperador francès el 1796. Cap al 1803 abandonà els escenaris, però sembla que cantà de manera esporàdica fins el 1820, any en què probablement actuà a Nàpols. Marchesi fou un dels últims representants de l’època dels castrats. Posseïdor d’una veu particularment flexible que li permetia realitzar notables virtuosismes, fou un gran intèrpret de les òperes de Sarti, N.A. Zingarelli i S. Mayr.