Fill del compositor Dmitrij Šostakovič, ha estat considerat un dels més destacats intèrprets de l’obra del seu pare, del qual ha estrenat peces tan importants com la Simfonia núm. 15 i el Concert per a piano i orquestra núm. 2, concert que el seu pare li va dedicar i que interpretà ell mateix al piano.
De molt jove decidí dedicar-se a la direcció d’orquestra, i es formà musicalment a Moscou. Amplià coneixements amb directors tan eminents com G. Roždestvenski i I. Markevitch. El 1963 fou nomenat director assistent de l’Orquestra Filharmònica de Moscou, i tres anys després, de l’Orquestra Simfònica Estatal de l’URSS, de la qual arribà a ser el titular —el darrer abans de la dissolució de l’orquestra—.
El 1981 marxà de Rússia i es donà a conèixer a Occident, on ha dirigit sovint les orquestres més importants del món, habitualment interpretant obres del seu pare i contribuint de manera decisiva a la difusió internacional de les seves obres menys conegudes. En 1983-85 fou titular de l’Orquestra Filharmònica de Hong Kong, i del 1986 al 1991, director artístic i principal de l’Orquestra Simfònica de Nova Orleans. Posteriorment retornà a Sant Petersburg.
Entre els seus enregistraments destaquen la integral de les quinze simfonies de D. Šostakovič amb l’Orquestra Simfònica de Praga i el Concert per a violoncel de N. Miaskovski (1992), amb la London Symphony Orchestra i el violoncelista Julian Lloyd Webber.