Un dels compositors més influents en la vida musical basca i hispànica de la segona meitat del segle XIX. Es formà com a nen cantor, i estudià orgue a Saragossa amb R. Ferreñac. A setze anys obtingué la plaça d’organista a Borja i el 1809 ocupà la de Tafalla, que havia estat refusada per Francesc Andreví. Posteriorment és documentat com a organista a Calataiud, fins que el 1830 guanyà per oposició la plaça d’organista a la basílica de Santiago, a Bilbao, on al cap de poc fou nomenat també mestre de capella i on romangué fins el 1882, que demanà la jubilació. Cal considerar la singularitat del cas de Ledesma, que obtingué la plaça de mestre de capella en un moment en què el càrrec era adjudicat generalment a clergues. Exercí una important tasca docent i participà activament en la vida musical secular de Bilbao. President de la Sociedad Filarmónica, fou un músic molt respectat i mantingué relació amb els compositors més destacats del seu temps, com H. Eslava i E. Arrieta. Fou nomenat professor honorari del Conservatori de Madrid, que utilitzà algunes de les seves composicions com a peces de programa. Entre les seves obres destaca un Stabat Mater per a cor i quartet de corda i la Lamentación del Miércoles Santo.