Estudià al Conservatori Bruckner de Linz i, posteriorment, a la Universitat per a la Música de Viena amb H. Swarowsky. El 1965 guanyà el premi Nikolai Malko de direcció d’orquestra de Copenhaguen. L’any següent fou nomenat primer director d’orquestra de la ciutat de Bonn, de la qual esdevingué director permanent el 1968 i director musical el 1977. Després d’una estada com a director musical de l’Òpera de Frankfurt (1977-81), el 1981 fou nomenat director principal de l’Orquestra del Mozarteum de Salzburg. Paral·lelament dirigí nombroses produccions operístiques: el 1974 debutà a l’Òpera de Viena, el 1975 a la d’Hamburg, el 1979 a la Deutsche Oper de Berlín i dos anys després a l’Òpera Bavaresa de Munic. El 1987 dirigí per primera vegada al Metropolitan de Nova York, i des del 1997 dirigeix també a San Francisco. Weikert és director habitual de festivals tan importants com els de Salzburg, Ais de Provença o Bregenz.