Fill d’un cantant italià resident a Anglaterra, de molt jove mostrà una notable facilitat per al violí i fou enviat a Nàpols. Sembla que durant el seu temps a Itàlia mostrà més interès per la pintura que no pas per la música i la composició. El 1782 retornà a Londres i publicà un recull de cançons. En els dos anys següents escriví una sèrie d’obres per a cambra que envià a la seva germana Nancy, cantant i llavors resident a Viena, la qual havia estat contractada en les representacions de Les noces de Fígaro de W.A. Mozart, mantenia una bona amistat amb el compositor de Salzburg i era una de les cantants preferides de l’emperador austríac. Nancy animà el seu germà a fer una estada a Viena, que li fou molt profitosa. Allí conegué Mozart i aconseguí que L. Da Ponte li facilités dos llibrets. Sobre ells escriví les seves dues primeres òperes, Gli sposi malcontenti (1785) i Gli equivoci (1786). El 1787 retornà a Londres i dos anys després compongué la seva òpera dialogada The Haunted Tower, que obtingué un èxit enorme i insospitat i el convertí en el compositor teatral anglès més celebrat. Storace creia que el vincle existent entre el text i la música era la base d’una bona òpera i de la necessitat que llibretista i compositor treballessin plegats. Consolidà la seva popularitat amb dues òperes dialogades més: The Pirates (1792) i The Cherokee (1794). Aquesta darrera, potser la seva millor producció, fou la primera òpera anglesa que s’inspirà en la temàtica de les terres americanes i els indis. Storace, que tingué un bon coneixement de les obres de L. Cherubini, R. Kreutzer i K.D. von Dittersdorf, sovint usà per a les seves composicions fragments d’obres pròpies i també d’altres autors. D’altra banda, L. van Beethoven utilitzà algunes melodies de Storace en creacions seves.
4 òperes (Gli sposi malcontenti, 1785; Gli equivoci, 1786; La cameriera astuta, 1788; Dido, Queen of Carthage, 1792); 15 òperes dialogades (entre les quals: The Doctor and the Apothecary, 1788; The Haunted Tower, 1789; The Siege of Belgrade, 1791; The Cave of Trophonius, 1791; The Pirates, 1792; Lodoiska, 1794, amb música d’òperes del mateix nom de Cherubini i Kreutzer, i música nova de Storace; The Cherokee, 1794; The Iron Chest, 1796; Mahmoud, 1796)
8 canzonetts, 1 v., pno./arpa (~1782); 2 quintets, c., pno./clav., op. 2 (1784); Venus and Adonis, ballet (1793); Lamentation of Marie Antoinette on the Morning of her Execution, 1 v., c., fg. (1793); 3 trios per a vl., vlc. i pno.; 6 sonatines per a pno./clav.