Estudià a la catedral d’Exeter i, pel que sembla, a partir del 1746 continuà la seva formació musical a Londres amb John Travers, organista de la capella reial. Cap al 1748 retornà a Exeter i es guanyà la vida com a professor i organista. La seva situació laboral es regularitzà quan el 1777 fou nomenat sotsxantre, vicari, organista i mestre de cor de la catedral, al servei de la qual restà fins a la seva mort. El fet de viure en una ciutat petita no suposà per a Jackson cap mena d’aïllament, i mantingué contactes amb músics i literats londinencs. Assimilà les aportacions musicals més modernes del seu temps i, al mateix temps, mantingué un esperit creatiu fortament independent. Compongué nombroses cançons, a una o diverses veus, amb acompanyament instrumental, especialment canzonette i també obres escèniques, algunes peces vocals sacres i sonates per a diversos instruments.