El nombre π, tot un clàssic!

Ja hem parlat del nombre d’or, però tothom ha sentit a parlar del nombre π en diverses situacions en què intervé aquest nombre. En aquest article es mostra la seva presència en multituds d’escenaris de la vida quotidiana.

3'14159265358969323846264323015319196365587...

“El rostre de Pi estava emmascarat; ningú el podia contemplar i continuar vivint. Però uns ulls de mirada penetrant lluïen darrere la màscara, inexorables, freds i enigmàtics.”

Bertrand Rusell (El malson del matemàtic)

Qui no ha sentit a parlar mai del “famós" nombre pi? En aquest article es presenta el perfil d’aquest nombre que tan sovint ens atabalava en les nostres classes de matemàtiques i que avui ja forma part de la nostra cultura popular.

Tothom disposa en el domicili de figures circulars (formalment cercles), especialment plats. Us proposo una experiència: agafeu un cordill i envolteu el plat amb el cordill, això permetrà mesurar el perímetre del plat, d’altra banda mesureu també el diàmetre del plat. Podeu observar que la longitud del cercle que envolta el plat és 3 vegades i escaig la longitud del diàmetre. En l'àmbit quotidià de l’àpat ja podem dir, doncs, que en el plat ens trobem π com a guarnició!!!

Això passa en tots els cercles –us convido que ho proveu amb diferents mides– i, per tant, aquest valor és independent del cercle que considerem, per la qual cosa serà una constant. Aquest valor “3 i escaig” l’anomenem pi i l’expressem amb el símbol π. Formalment podem definir pi com el quocient entre el perímetre del cercle i el seu diàmetre.

Breu cronologia de pi

Al llarg de la història, molts matemàtics s’han entretingut a cercar xifres de pi. Malgrat tot, s’ha demostrat que és impossible representar pi com un quocient de nombres naturals (0, 1, 2, 3...) i a més té infinites xifres. Aquest fet li concedeix la categoria de nombre irracional. En alguna ocasió s’ha pensat d'escriure pi com a , que tal com s’observa no és el seu valor. Sempre obtindrem aproximacions, però mai una expressió en forma de fracció.

Farem, però, un breu repàs cronològic a les aproximacions a pi que s’han fet.

En algun fragment de la Bíblia (1 Reis,7:23) ja apareix pi, prenent simplement el valor 3.

L’any 1650 aC en el Papir d'Ahmes els egipcis proposen aproximar pi a la fracció , en què podem notar que només conté un decimal exacte (per saber més sobre matemàtiques a l’antic Egipte, consulteu: http://www.egiptologia.org/ciencia/matematicas/papiro_rhind.htm). 

Més endavant, el 250 aC, Arquimedes va dibuixar 96 costats al voltant d’un cercle i va afirmar que pi es podia localitzar entre    i    , en els quals com a molt s’obtenen tres xifres exactes.

Al segle XVI, l’alemany Ludolph van Ceulen (1540-1610) va calcular pi amb fins a 35 decimals exactes, tot i que mai ho va publicar perquè va morir. Aquestes xifres, però, van quedar immortalitzades a la làpida de la seva tomba. De fet els alemanys es refereixen a pi com el nombre “ludofià” en honor a Ludolph.

L’any 1706, l’anglès William Jones va introduir el conegut símbol grec π per designar-lo, un símbol que va tenir un ressò mediàtic i popular de la mà de L. Euler (1707-83) en la seva obra Introducció al càlcul infinitesimal (1748). Fou el matemàtic alemany Johan H. Lambert (1728-77) qui, també al segle XVIII, va demostrar que pi és un nombre irracional, és a dir: que no es pot expressar en forma de fracció.

En ple segle XIX, en concret l’any 1873, el matemàtic anglès William Shanks (1812-82) va hipotecar quinze anys de la seva vida cercant decimals de pi. Es comenta que en va trobar 707, però l’any 1945 es va comprovar que es va equivocar en el decimal que ocupa el lloc 528è i, per tant, els següents eren falsos.

El 1949, amb la introducció dels ordinadors, un dels primers ordinadors –l’ENIAC– després de setanta hores de treball va calcular pi amb 2.037 decimals exactes. Deu anys més tard, ordinadors localitzats a França i Anglaterra van calcular més de 10.000 decimals de pi, mentre que el 1961 Daniell Shanks va obtenir en 8 h i 23 min, 100.265 xifres de pi amb un IBM 7090 i el 2004 Yashumasa Kanada va calcular 1,24 bilions de decimals del nombre pi amb l’ajut d’ordinador.

I si teniu ganes de jugar, us convido a visitar el formidable web http://www.angio.net/pi/piquery, en què podem introduir fins a set dígits i descobrir en quina posició es troben dins de π.

Així, per exemple, si introduïm el valor 2022, trobem que ocupa la posició 17.952 després de la coma.

En fi, actualment el càlcul de xifres del nombre pi només té un interès simpàtic i potser lúdic, i ja forma part d’un entreteniment del passat.

Anècdotes i curiositats del pi

El cercle anglès

Algunes collites de cereals britàniques es desperten ocasionalment amb un canvi en la seva fesomia. De nit i d’amagat, hi ha algú que es dedica a convertir els camps en belles i extenses obres d’art conegudes com a cercles a les collites o crop circles. Fa uns anys, un cercle de 46 metres de diàmetre va aparèixer dibuixat als voltants del castell de Barbury, al sud d'Anglaterra. La seva forma va despertar la curiositat de Mike Reed, un astrofísic retirat que va saber desxifrar-ne el significat. Per a la sorpresa de molts matemàtics, la icona simbolitza la xifra 3,141592654, és a dir, els deu primers dígits del nombre pi.

Ones sinusoidals

La presència de pi ocupa un lloc rellevant en la trigonometria, principalment en processos repetitius (ones sinusoidals). Així, els sistemes de navegació per tal de calcular l’itinerari més curt amb el mínim consum de combustible utilitzen el nombre π.

D’altra banda, els aparells de música i els receptors estan basats en ones sinusoidals (les podeu observar en la pantalla d’alguns aparells) per codificar i descodificar, i per tant apareix π protagonitzant les freqüències.

Longitud fluvial

En geologia, el professor H. Stolum de la Universitat de Cambridge va demostrar que el quocient entre la longitud natural d’un riu i la distància en línia recta entre el seu naixement i la desembocadura era proper a π.

En el cinema

Alfred Hitchcock en el seu film Cortina esquinçada (1966), protagonitzada per Paul Newman, fa aparèixer π com una organització d’espionatge. En una seqüència del minut 40 del film aproximadament, Paul Newman escriu amb la seva sabata el símbol de pi a terra per tal d’identificar-se davant d’una xarxa d’espionatge.

Igualment, hi ha una pel·lícula del director Darren Aronofsky que té per títol Pi, fe en el caos (1998).

En la literatura

En nombrosos textos literaris també es manifesta π, el més recent és un poema de l’escriptora polonesa Wislawa Szymborska (premi Nobel de literatura,1996) dedicat a π i que tot seguit en reproduïm la traducció al català:

El nombre pi és ben digne d'admiració
tres coma u quatre u.
Totes les xifres que segueixen són també xifres primeres
cinc nou dos, perquè no s'acaba mai.
No permet de ser abastat sis cinc tres cinc amb la mirada,
vuit nou amb el càlcul,
set nou amb la fantasia,
ni tan sols tres dos tres vuit amb la broma o comparant-lo
quatre sis amb qualsevol cosa
dos sis quatre tres arreu del món.
La  serp més llarga de la Terra després d'uns metres s'acaba.
Si bé un xic més tard, els passa als dracs de les rondalles.
La processó de xifres de què consta el nombre pi
no s'atura al marge del paper,
és capaç de prolongar-se per la taula, per l'aire,
per la tàpia, les fulles, un niu d'ocells, els núvols, i continuar pel cel,
per tota la immensitat i la inflor de l'aire.
La cua d'un cometa és tan breu com la d'una rata!
la llum d'un estel és tan feble que fins es torça dins l'espai!
Aquí en canvi dos tres quinze tres-cents dinou
el meu número de telèfon el teu número de camisa,
any mil nou-cents setanta-tres sisena planta
nombre d'habitants que té la Terra quatre rals
dos dits l'ample dels malucs  una xarada i un codi xifrat
en el qual trobem rossinyol meu, ara volaràs, ara cantaràs
seguit d'"es prega de conservar la calma"
i també el cel i la terra un dia moriran,
però no pas el nombre pi, ell sí que no,
ell continuarà endegant el seu bon cinc
el seu vuit selecte,
el seu set no pas definitiu
esperonant, ai, esperonant la mandrosa eternitat
fins a esdevenir perdurable.
3'14159265358969323846264323015319196365587...

El dia 03-14

Als Estats Units se celebra en l’àmbit acadèmic el dia del nombre pi el 14 de març (en format americà 03-14).

D’altra banda, Albert Einstein va néixer un 14 de març a la 1.59 de la tarda (en format americà, 314159). Per aquest motiu el Consell Executiu de la UNESCO, en data 27 de novembre de 2019, va aprovar proclamar el dia 14 de març com el Dia Internacional de les Matemàtiques (IDM)  https://www.idm314.org/.

En articles de consum

Al Priorat es produeix un vi que s’anomena 2πr, i també existeix al mercat un perfum masculí de Givenchy etiquetat π.

Rècord Guinness

El psiquiatre japonès Akira Haraguchi va estar 16 hores seguides recitant de memòria 100.000 xifres de pi, fet que el va fer aparèixer al llibre Guinness dels rècords.

Ja veieu que, com altres celebritats, π és un nombre mediàtic que ja forma part de la nostra cultura popular!!

I un afegitó més

Després de publicar aquest article, un lector em va fer arribar un nou poema sobre π, i aquí el compartiré amb vosaltres.

L'enigma de π

Enigmàtic, màgic, misteriós,
clau per obrir el Cel i la Terra,
l'Univers és un cercle en expansió.

Totes les dates són al teu cor:
d'allò que va néixer,
d'allò que va morir,
d’allò que has fet immortal.

En la infinita seqüència,
misteriosa clau del cercle
tres diàmetres i una porta oberta.

3,141592… perifèria de l’infinit,

Fernando Galbán (@galban_test)