La constant cosmològica

Dedicat a Albert F., Josep G., i Juli F., 
magnífics companys de promoció, que ja no hi són. 
Perquè estic segur que els hauria agradat.

Per què?

El 8 de febrer de 1917, Albert Einstein va publicar un article, amb el títol "Kosmologische Betrachtungen zur allgemeinen Relativitätstheorie" ('Consideracions cosmològiques entorn de la teoria general de la relativitat'), a la Revista de les Sessions de Física- Matemàtica de la Reial Acadèmia de Prússia [1]. En ell aplicà per primer cop la seva flamant teoria, publicada un any i escaig abans, a tota la matèria i energia de l'espaitemps, a l'univers sencer. I va observar de seguida que un univers estacionari, tal com es creia que ho era el nostre, no satisfeia les seves equacions de camp. Per això va afegir-hi la constant cosmològica, λ. Catorze anys més tard, quan per fi es va convèncer que l’univers no era pas estacionari, sinó que s’expandeix, va rebutjar i maleir la constant, dient textualment que, en introduir-la, havia comès “la burrada més gran de la meva vida” (“die grösste Eselei meines Lebens”). No en va voler sentir a parlar mai més de λ. Tot i que, de fet, no hi feia cap mal en les equacions, encara que l’univers s’expandís. Tots els seus col·legues, començant per Friedmann i Lemaître –que precisament van ser els qui van demostrar aquest darrer fet– la van seguir mantenint sempre, la constant cosmològica. Molts s’han preguntat, per què Einstein va ser, doncs, tan radical?

Respondre aquesta qüestió és molt important. Sobretot ara, que el model cosmològic estàndard es diu ΛCDM, ja que creiem que Λ pot tenir un paper cabdal en l'acceleració de l’expansió del cosmos (la segona gran revolució cosmològica del segle XX). Doncs bé, resulta que un descobriment digne del mateix Indiana Jones, fet en uns arxius de Jerusalem tots plens de pols i reportat per quatre col·legues que van tenir a bé comunicar-me’l (ja que saben que darrerament m’he estat dedicant molt a aquests afers), m’ha permès per fi –després de lligar caps en llargues nits d’insomni– respondre aquesta qüestió amb rotunditat. Ho explico tot seguit.

La constant cosmològica

A les imatges es mostren tres de les pàgines de l’article d’Einstein, abans esmentat, on la introdueix [1]. Einstein fa notar que la seva teoria porta a la conclusió que les masses que hi ha a l'univers haurien corbat tant l'espai, que aquest hauria d'haver-se contret enormement, des de feia molt de temps. Atès que l'univers era encara prou gran i tal cosa no havia succeït, Einstein decideix afegir un terme amb una “constant universal”, que actua com a “antigravetat” i impedeix així el col·lapse del cosmos.

Però llegim l'article, fil per randa. Comença analitzant a la seva primera pàgina, la 142 del volum, el cas de la gravitació de Newton, en la qual es presenta exactament el mateix problema. I tracta de trobar-hi una solució introduint, al costat del laplacià de l'equació de Poisson, un terme constant, una “constant universal” λ i argumenta que aquesta idea pot funcionar. A continuació, la trasllada al cas de les seves equacions de camp per a la relativitat general (RG), que havia deduït en el seu treball del 1915:

R_µν – 1/2 g_µνR = − 8πG/c⁴ T_µν

Procedint de manera anàloga, a la pàgina 151 introdueix el mateix tipus de constant universal, “eine vorläufig unbekannte universelle Konstante” ('una constant universal fins ara desconeguda'), en les seves equacions de la RG. Amb això obté les noves equacions:

R_µν – 1/2 g_µνR – λ g_µν = − 8πG/c⁴ T_µν

Raona, a continuació, que la introducció d'aquest terme addicional en les seves equacions és compatible amb tots els postulats de la RG, en particular el de covariància, d'acord amb els quals va construir la seva teoria fonamental (de fet, és l'únic terme addicional que hi podia introduir). I raona, a més, que sempre que λ sigui prou petita, les seves noves equacions seguiran satisfent el requeriment crític que, en aplicar-les als dominis del sistema solar, segueixin donant resultats indistingibles dels de la física newtoniana. Tot això ho podeu descobrir directament (si sabeu l’alemany) en la imatge de la pàgina 151. És una bona lliçó a tenir en compte: acudir, sempre que ens resulti possible, als orígens de la història, en lloc de fiar-se d'expressions que han passat de boca en boca, o de llibre en llibre, per un piló d'intermediaris. La segona seria: aprendre idiomes. A la darrera pàgina de l’article, Einstein diu explícitament que renuncia a comparar el seu model amb els resultats de les observacions astronòmiques, limitant-se en el treball a consideracions purament teòriques. Són molts els qui hi han vist aquí un gravíssim error, que es reproduirà en altres actituds semblants al llarg de la seva vida.

No ens hem de deixar enganyar per l'aparent simplicitat d'aquestes equacions que, d'altra banda, forma part substancial de la seva particular bellesa. Com a anècdota, segons relata Ludwik Silberstein, durant una de les conferències d'Arthur Eddington, li va preguntar: “Professor Eddington, vostè deu ser una de les tres úniques persones al món que entenen la relativitat general”. Eddington va fer una pausa, incapaç de respondre de moment. Silberstein va continuar: “Au va; no sigui modest, Sr. Eddington!". Finalment, aquest li va respondre: “No en soc pas gens. Només estava tractant d'endevinar qui podia ser la tercera persona”. I, de quan Einstein va realitzar el seu famós viatge per Espanya, es diu sempre que ben pocs van ser capaços d'entendre alguna cosa del que va explicar, encara que tots l’aplaudissin d'allò més. Bé, en realitat, es tracta d'un conjunt de setze equacions diferencials en derivades parcials acoblades, ja que els subíndexs, μ i ν, prenen quatre valors, 0, 1, 2, 3. Resoldre-les pot ser, de vegades, extremadament complicat, fins i tot numèricament i de manera aproximada. No puc entrar en detalls, ja que crec que no em toca fer-ho aquí.

La “Cinquena Conferència Internacional Solvay sobre Electrons i Fotons”, de la qual he parlat en altres articles (vegeu per exemple "Les dues revolucions cosmològiques del segle XX"), va tenir lloc a Brussel·les, l'octubre del 1927. Probablement és la conferència científica de més alt nivell mai celebrada: 17 dels 29 participants que apareixen a la tan cèlebre fotografia de la trobada havien obtingut, o l’aconseguirien més tard, el premi Nobel (Madame Curie ho va fer en dues ocasions). George Lemaître era allà i expliquen que, en un recés de les sessions va acorralar Einstein en una cantonada per ensenyar-li el seu article recentment publicat. I aprofità l'ocasió per explicar-li, cara a cara, que havia descobert una solució de les seves equacions de camp de la relativitat que corresponia a un univers en expansió, i que això quadrava perfectament amb les darreres observacions astronòmiques. Va afegir, a més, que havia aconseguit demostrar que la solució estàtica d'univers que Einstein havia obtingut amb la constant cosmològica era, de fet, inestable. L'univers, en definitiva, no podia ser estàtic, estava en expansió! Després d'haver examinat el treball, la resposta que Einstein li va donar va ser la següent: no havia trobat cap error en les fórmules matemàtiques, però la interpretació física d'aquestes, això que l'univers s'estava expandint, no tenia el més mínim sentit –era abominable–, tal com el mateix Lemaître va detallar, en francès, més tard. Einstein havia recordat, en veure les equacions, que havia estat Friedmann el primer que, cinc anys abans, li havia suggerit aquesta possibilitat, irreal. L'agreujant fou ara, que no va voler fer cap cas de la clara evidència que Lemaître li aportava, sobre els resultats de les observacions astronòmiques; les quals calia interpretar, això sí, correctament.

Hi ha escrit en moltíssims llibres i articles diversos que va ser precisament Hubble qui va convèncer Einstein que l'univers s'estava expandint; i que això va ocórrer quan aquest últim va visitar Mt Wilson el 1931, durant la seva famosa gira pels Estats Units d'aquell any. No obstant això,  en examinar amb detall els quaderns (Tagebuch) d'Einstein i altres escrits seus d'aquells dies, s'ha pogut saber amb certesa que Hubble mai no li va parlar de l'expansió de l'univers. S'ha conegut, per contra, que el seu convenciment que l'univers estava en expansió li va arribar finalment a Einstein, durant aquell mateix any, per converses mantingudes amb Eddington, Tolman i De Sitter. Per fi, entre tots el van poder convèncer que el seu model estàtic era inestable i que era un fet cert que l'univers s'estava expandint. Com ja hem vist, Einstein havia introduït la seva famosa constant cosmològica el 1917, en el seu intent d'obtenir precisament un model d'univers estàtic.

Una gran bestiesa

I va ser aquell mateix any 1931 quan va renegar abruptament d'aquest model: va suprimir la constant cosmològica de les seves equacions i va abraçar la solució de Friedmann, però sense la constant. Això succeí, doncs, 14 anys després que Einstein l’hagués introduït. Va ser George Gamow qui relatà a Scientific American, el 1956, que Einstein li havia dit, feia molts anys, que la idea de la repulsió còsmica associada a la constant cosmològica havia estat la major bestiesa de la seva vida (“Die grösste Eselei meines Lebens”, en alemany). Durant diverses dècades aquest va ser l'únic testimoni conegut de tal afirmació, i molts historiadors el posaven seriosament en dubte, a causa de la gran imaginació de què Gamow va fer gala al llarg de la seva vida. Però recentment, gràcies a la feina, altre cop, de joves i incansables historiadors (en aquest cas Cormac O'Raifeartaigh, amb qui he mantingut una il·luminadora correspondència sobre el tema), sabem ara que Einstein va fer una afirmació semblant en almenys dues ocasions més [2]. D'una banda, John Wheeler va escriure en el seu llibre Exploring Black Holes: Introduction to general Relativity (2000) que ell personalment havia estat present quan Einstein li va dir a Gamow les famoses paraules, a les portes del vestíbul de l'Institut d'Estudis Avançats de Princeton. I un altre físic important, Ralph Alpher, també va testimoniar haver sentit a Einstein fer una afirmació molt similar. És un fet ben provat que Einstein no va voler tornar a fer servir λ mai més. Ni tan sols quan li van suggerir que podria ser interessant restaurar-la de nou, ja que, jugant amb el seu valor, es podia ajustar millor l'edat de l'univers als resultats d'observacions sobre les galàxies més antigues, que semblaven superar l'edat del propi univers. Però, tal com Einstein va assenyalar en una de les seves últimes revisions de la cosmologia relativista:

“Si l'expansió de Hubble s'hagués descobert en el moment de la creació de la teoria general de la relativitat, el terme cosmològic mai no l’hauria afegit. Sembla ara molt menys justificat introduir un terme d'aquest tipus en les equacions de camp, ja que la seva inclusió ha perdut l'única justificació que va tenir originalment.”

I cal apuntar, a més, un fet addicional important i que gairebé ningú no destaca: amb la seva postura, Einstein va ser molt més radical fins i tot que els mateixos Friedmann i Lemaître, ja que tots dos incloïen sempre el terme de la constant cosmològica en els seus models d’univers. Encara que per a ells no fos decisiu, com en el model d'Einstein, ja que per a la solució d'univers en expansió aquest terme addicional pot tenir, en principi, un paper superflu. Però, si no tenia raó de ser, no s’havia de posar per cap concepte; això és el que afirmà Einstein, categòricament.

Arribats a aquest punt, ens hauríem de detenir un moment a reflexionar sobre aquest fet tan sorprenent. Einstein, el genial creador de la relativitat general, el mestre de l'espaitemps, de les contraccions i dilatacions d'aquest, el descobridor de la possible existència d'entitats tan esotèriques com les lents i les ones gravitacionals, va tardar deu anys sencers (des que va aparèixer la solució de Friedmann), a convèncer-se que l'univers s'estava expandint. Com poder copsar una actitud així, tanta tossuderia? Pot semblar-nos ara estrany, fins i tot increïble. Per a mi, la seva actitud il·lustra clarament un parell de punts. Primer, avala la meva convicció que l'expansió de l'espai era, en aquell moment, una idea extremadament revolucionària, que ningú no va acceptar durant molts anys i que alguns (començant per Hubble mateix) no van arribar a comprendre mai, en tota la seva vida. Lemaître va ser, per un temps, l'únic que es va sentir còmode amb la idea que l'espai físic, de fet, s'estava expandint. I l’altra qüestió que podríem considerar ara és, fins a quin punt aquest darrer va tenir la sort d'encertar-la en trobar la interpretació correcta dels resultats astronòmics, d'acord amb la teoria fonamental de la gravitació einsteiniana. Amb tot, li va resultar enormement difícil convèncer altres col·legues del transcendental descobriment que havia fet.

El manuscrit perdut durant molts anys en un arxiu de Jerusalem

Però, tornem al tema, i parlem per fi de la nota manuscrita d'Einstein, de principis del 1931 i descoberta no fa pas gaire. [3] S'hi considera un model, que constituí el seu darrer intent desesperat per salvar la teoria de l’univers estàtic, sota la forma d’un model d’estat estacionari. Té quatre pàgines i mai no va ser publicada. Es titula Zum kosmologischen Problem ('Sobre el problema cosmològic') i es conserva en els arxius de la Universitat Hebrea de Jerusalem. El raonament d'Einstein va ser aquest:

“Si es considera un volum limitat físicament, les partícules de matèria aniran contínuament abandonant-lo. Per tal que la densitat pugui romandre constant, cal que noves partícules de matèria es produeixin contínuament en el volum, a partir del propi espai”.

És pràcticament segur que aquesta nota d'Einstein mai no va ser coneguda per Hoyle, Bondi i Gold, que van tenir la mateixa idea dues dècades més tard. Descriu, en essència, i de manera magistral, insuperable, el mateix principi físic dels darrers en la seva teoria de Stationary State i en el qual es basen també tots els actuals models d'inflació còsmica. Einstein va abandonar finalment el seu manuscrit perquè hi va trobar un error en la manera precisa que proposava per dur a terme la seva idea: no va ser capaç de trobar un mecanisme adient per realitzar la conversió d'espai en matèria, tal com necessitava. Pretenia fer aquesta transmutació a través de la constant cosmològica, però es va adonar, en una última revisió que va fer de la seva nota abans d'enviar-la a publicar, que això no era possible. La nota va quedar perduda en un calaix i mai més en va tornar a fer cas. Sabem ara que no va ser capaç de veure que necessitava un terme addicional amb un camp de creació de matèria a partir de la geometria, com sí que ho van fer Hoyle, Bondi i Gold en el seu model.

Lligant caps, és per a mi ben clar que aquest fou el darrer intent que va fer Einstein, a principis del 1931, de rescatar el seu model d'univers estacionari, mitjançant l'ús de la constant cosmològica. I opino ara que va ser precisament aquest fracàs que el va decidir, de cop i volta, a renegar-ne d’una manera tan radical, aquell mateix any, i per sempre, després de pronunciar la tan famosa sentència.

Cal tenir en compte que, a la dècada dels 40, eren molts els físics i astrònoms que continuaven amb la convicció que el model estàtic de l'univers era el bo. Mai no va sorgir cap dubte, però, sobre la validesa de la llei empírica de Hubble, que des del primer moment va ser considerada correcta. Per tant, tal com acabem de veure magníficament explicat pel mateix Einstein, per tal de compensar la pèrdua de densitat de matèria-energia a causa del fet que les galàxies distants s'allunyaven cada cop més de nosaltres, calia introduir un terme en les equacions que creés matèria-energia del no-res. Bé, del no-res no, sinó de l'espai (com diu Einstein) o, si es vol, de la geometria o de les fluctuacions de l'espai. En suma, de la part matemàtica de les equacions de la RG. Einstein ho havia intentat a través de la constant cosmològica, sense aconseguir-ho. Hoyle, Bondi i Gold ho van aconseguir mitjançant un “camp de creació” o “camp C” (C-field), que creava matèria a l'interior de les galàxies en regions llunyanes del cosmos, a un ritme relativament suau, el suficient per compensar l'augment de volum de l'univers visible. Encara que, finalment, el seu mecanisme no era gaire precís i, el que és més important, mai no es va trobar (ni s’ha trobat fins ara) cap evidència que aquesta creació de matèria tingui lloc, en absolut. Cal, a més, tenir en compte que en llur model l'espai no s'expandeix! Aquests autors negaven per complet el model de Lemaître i seguien pensant que l'expansió de l'espai era un simple truc matemàtic que res tenia a veure amb la realitat. La qüestió que cal aclarir ara és: Com resulta possible generar, almenys de manera teòrica, matèria i energia a partir d'un sistema de referència, de la matemàtica de l'espaitemps?

L’àpat “de gorra” i els miracles de la Física

Per entendre això hem d’acudir a les magnífiques equacions de la RG d'Einstein. El que ara explicaré és exactament el mateix principi físic que permet la creació del plasma de quarks i gluons en les teories d'inflació còsmica actuals. Lamentablement, són molts els qui desconeixen avui que els conceptes d'un univers amb “energia total zero” o el de l’àpat “de gorra” (free lunch), és a dir, que l'univers té una energia total nul·la i mantenir l'equilibri d'energia tant en la seva formació com en la seva evolució posterior, no són conceptes inventats per A. Guth, A. Linde o A. Vilenkin, ni per cap altre dels físics de la inflació. Aquests conceptes ja s'expliquen de manera absolutament magistral, per exemple, en l'important llibre de Richard C. Tolman Relativitat, termodinàmica i cosmologia (1934).[4] Allà, un hi troba frases tan genials com aquesta:

“...un univers tancat pot tenir energia total igual a zero. Tota la seva massa-energia és positiva però la seva energia gravitacional és negativa i es poden cancel·lar entre si, la qual cosa porta a un univers d'energia total zero”.

Aquest enunciat se’l coneix ara, en les brillants classes de física d'Alan Guth, al MIT, a les quals he tingut el plaer d'assistir, com el “Miracle de la Física N. 2”, que diu així: “Les energies no són sempre positives, el camp gravitatori té energia negativa”. Ve precedit pel “Miracle de la Física N. 1”, que Guth explica en la mateixa lliçó, i que és de fet el que ens interessa ara, per començar: “La gravetat pot ser repulsiva”. Mantenir l'equilibri energètic (o principi de conservació de l'energia) en tot moment, d'acord amb la relativitat general, és possible de la següent manera: es pot generar una quantitat de matèria-energia positiva sempre que estigui disponible una quantitat equivalent de pressió negativa de l'espaitemps (també coneguda com a inflació); per exemple, corresponent a una expansió del sistema de referència (en termes matemàtics) o, el que és el mateix, del teixit de l'espai (com diuen els físics). I assumpte resolt! És exactament el que Einstein ja veia amb tanta claredat, de manera teòrica, però que ell mateix no va ser capaç de realitzar de forma pràctica concreta (ho acabem de veure), en el seu intent darrer de trobar-li utilitat a la constant cosmològica.

Per entendre aquest punt, importantíssim, vulguem acudir a la segona equació de Friedmann:

Sense aturar-me a efectuar una anàlisi detallada, n'hi ha prou d’observar el que segueix, per tractar d'entendre el concepte que ens ocupa. A l'esquerra tenim l'acceleració còsmica: a és el factor d'escala, una longitud típica prou gran (diguem, 100 Mpc) com perquè sigui perceptible l'expansió de l'univers; mentre que ä és la seva derivada segona respecte al temps. El signe ─, juntament amb la densitat de matèria ρ (tots dos en vermell) ens indica que les masses de l'univers desacceleren la seva expansió (llei de Newton). La constant cosmològica d'Einstein, Λ, pot contribuir a l'acceleració del cosmos (si és positiva) o a la seva desacceleració (si és negativa). I deixo per al final el terme de pressió, p; és aquí on rau la diferència de la RG respecte de la mecànica clàssica: en aquest simple terme.

Aquesta pressió no es refereix pas a cap pressió exercida per un gas, o per una explosió gegantina ocorreguda en algun lloc del cosmos. Res de tot això. És la pressió corresponent a la compressió (pressió positiva) o bé expansió (pressió negativa) de l'espai, del teixit mateix del cosmos. El realment important aquí és el parèntesi de l'equació: la matèria i la pressió van juntes, són intercanviables una per l’altra. Podem augmentar la massa de l'univers (o sigui crear matèria i energia, que sempre és positiva) a costa d'afegir-li la quantitat equivalent de pressió negativa del teixit de l'espai, i l'equació queda igual. La gravetat negativa, de què parla Guth, la podem veure com una expansió de l'espai (p negativa), en comparar-la amb la gravetat ordinària del terme de matèria, ρ. I quan hi ha exactament tanta matèria com expansió, es dona la situació que l'energia total de l'univers és exactament zero. És difícil anar més enllà del que acabo d'explicar, en tan poques ratlles.

Per acabar, només afegiré un parell de coses. La primera, que la lectora o lector intel·ligents hauran ja vist que no he explicat res del mecanisme precís que les teories d’inflació còsmica fan servir per transmutar la pressió negativa en matèria (el plasma de quarks i gluons), al final del procés. Només esmentaré que involucren un camp quàntic, l’inflató, o bé correccions quàntiques de la RG. La segona, que tot això que he explicat al final no són simples especulacions, o possibilitats teòriques no contradictòries. De fet hem anat molt més enllà, a dia d’avui: les anàlisis de les dades de les observacions astronòmiques més precises de WMAP, PLANCK, JLA, BAO, etc., ens confirmen que l’energia total de l’univers és zero amb un marge d’error del 0,5%.

-----------------------------------------------

Bibliografia referenciada:

[1] Einstein, A. Kosmologische Betrachtungen zur allgemeinen Relativitätstheorie, Sitz. König. Preuss. Akad. 142-152 (1917).

[2] O’Raifeartaigh, C. Investigating the legend of Einstein’s “biggest blunder”, Physics Today, 30 Oct 2018

[3] O’Raifeartaigh, C., McCann, B., Nahm, W., Mitton, S. Einstein’s steady-state model of the universe, ArXiv 1402.0132

[4] Tolman, R.C. Relativity, Thermodynamics, and Cosmology (Oxford University Press, Oxford, UK, 1934).