A més, però, de la lògica pròpiament dita, actualment hom inclou sota el títol de lògica les investigacions metalògiques, les quals comprenen la teoria de la deducció o estudi de les propietats dels conjunts d’axiomes i la semàntica formal. D’altra banda, no tot el que ha figurat històricament sota el nom de lògica —com és ara la hegeliana— entra avui dins l’àmbit d’aquesta, ni totes les investigacions pròpiament lògiques han estat consignades com a tals. Malgrat aquesta dificultat, existeix una unitat bàsica de temàtica, separable de la filosofia, que permet de considerar la lògica com una única ciència formal en diferents estadis de desenvolupament o diferents especialitzacions. Normalment cal considerar les adjectivacions com a redundància (per exemple, lògica formal) o bé com a simple especificació d’època o d’especialitat; de vegades, però, convenientment adjectivada, la paraula continua designant una matèria filosòfica: així, l’expressió lògica aplicada és emprada per Carnap —en oposició a lògica pura o formal— com a sinònim de teoria del coneixement o filosofia de la ciència, la parcel·la de la qual que tracta de fonamentar els procediments inductius és anomenada també lògica inductiva; dins el pensament dialèctic, així mateix, hom parla de lògica dialèctica en un sentit molt pròxim al d’epistemologia. Hom sol entendre per lògica tradicional tota la lògica des d’Aristòtil fins a G.Boole, la qual té com a fases principals l’aristotèlica, l’estoica i la medieval. La lògica neix, gairebé sense precedents, amb Aristòtil (384-322 aC), per al qual la part central d’aquesta lògica és la teoria del sil·logisme; des de la perspectiva actual cal destacar el seu caire formal (usa esquemes lògics amb lletres esquemàtiques o variables substituint les paraules del lèxic, però no les partícules lògiques) i la seva presentació axiomàtica, però la seva principal limitació és una anàlisi inadequada de l’enunciat en un subjecte i un predicat. No menys important és l’aportació de les escoles megàrica i estoica —particularment la de Crisip (280-205 aC), bé que no se'n conserven les obres i el coneixement de les seves idees resta fragmentari—, que tractaven sistemàticament la lògica d’enunciats sense analitzar, derivant de cinc formes fonamentals tots els raonaments basats en les connectives. Després d’un llarg període de mera transmissió, hi ha un ressorgiment de la lògica dels s. XII-XIV, la contribució més important del qual correspon al que hom avui anomenaria semàntica i filosofia de la lògica, més que no a la mateixa lògica. Pel que fa a la lògica moderna, abans que tot cal assenyalar que aquesta expressió —igualment com la de matemàtica moderna— no vol significar la lògica de l’edat moderna, sinó la nova lògica que comença amb George Boole (1815-64); hom l’anomena, també, indistintament, lògica matemàtica, simbòlica o formal (denominacions arrelades en el món anglosaxó) o àdhuc logística, bé que aquest darrer terme va perdent l’ús, pel fet que connota una ruptura gairebé total entre el tema de la lògica tradicional i el de la moderna. El reconeixement d’una unitat temàtica no és, però, obstacle per a constatar l’enorme creixement (possibilitat pel procés d’aritmetització de l’anàlisi i de la fonamentació de l’aritmètica i per la incidència de les geometries no euclidianes en el concepte d’axiomatització) de la lògica als s. XIX i XX, en contradicció amb la idea kantiana que la lògica havia trobat el seu mètode i la seva forma definitius amb Aristòtil. Els trets principals de la lògica moderna són l’ús d’un simbolisme algèbric, l’atenció a les relacions i la distinció entre sintaxi (càlculs no interpretats) i semàntica i entre llenguatge i metallenguatge. Bé que n'existeixen precedents, principalment Leibniz (1646-1716), l’obra lògica del qual no tingué la influència que mereixia, en restar inacabada i inèdita, hom considera l’inici de la lògica moderna a partir de l’àlgebra de G.Boole (1854), interpretable com a lògica de classes i d’enunciats. A.De Morgan (1806-71) i Ch.S. Peirce (1839-1914) crearen la lògica de relacions. G.Frege (1848-1925) introduí els quantificadors, donà la primera versió sistemàtica i enterament formalitzada del càlcul de predicats i emprengué la reducció de l’aritmètica a la lògica. B.Russell i A.N.Whitehead imposaren, a Principia mathematica (1910-13), el simbolisme més simple de G.Peano i evitaren la inconsistència del sistema de Frege amb la teoria dels tipus. Dins les investigacions metalògiques és impossible d’exagerar la importància del descobriment de K.Gödel de la completesa del càlcul de predicats de primer ordre (1930) i la incompletesa de les lògiques d’ordre superior (1931). La resposta a la qüestió sobre la decidibilitat de la lògica, descrita per D.Hilbert com la més important, fou donada per A.Churz (1936) com a negativa pel que fa a la lògica de predicats de primer ordre, però hom continua investigant, amb resultats positius, la decidibilitat de classes de fórmules. En les investigacions semàntiques cal destacar A.Tarski, el qual, amb una definició precisa del concepte de veritat per als llenguatges formals (1936), convertí la semàntica formal en una ciència rigorosa, que ha permès el desenvolupament de la teoria dels models. Altres desenvolupaments posteriors han estat centrats en la lògica polivalent que, a diferència de la lògica tradicional o formal (bivalent), contempla més de dues possibilitats d’assignació de valors de veritat per a cada proposició. De molt antic hom ha considerat proposicions a les quals no és possible assignar un d’aquests dos valors de veritat; és el cas de les proposicions contingents de futur, com la típica d’Aristòtil, “Demà hi haurà una batalla naval”. En la lògica polivalent hom considera que les proposicions tenen, com a mínim, tres possibles valors de veritat V, F i I: el tercer valor rep interpretacions semàntiques diverses que fan aparèixer els diferents tipus de lògiques polivalents. D’ordinari les lògiques polivalents són construïdes de manera que continguin com a cas particular la lògica clàssica. Hom pot assenyalar el polonès Jan Lukasiewicz (1878-1956) com a l’iniciador dels estudis de lògica polivalent.
f
Lògica