OBRES

OBRES

Divulgació científica
Estadístiques

Gran enciclopèdia catalana

aritmètica

substantiu femeníf
Matemàtiques

Sumari de l’article

matemàtiques mat
Estudi dels nombres naturals i de les operacions d’addició, subtracció, multiplicació, divisió entera, potenciació i extracció d’arrels enteres entre aquests nombres.

L’aritmètica ha nascut a totes les civilitzacions ensems amb el llenguatge per anomenar conjunts de persones o d’objectes i després per facilitar els intercanvis comercials.

Els egipcis s’havien ocupat d’alguns problemes aritmètics, i les obres que n'han estat conservades (la més antiga de les quals és el papir Rhind [~s. XVII aC]) contenen la resolució d’algunes qüestions numèriques sense dir en quines propietats recolza la resolució, ni menys encara justificar-les. El nivell de llurs coneixements era, aproximadament, el de l’actual ensenyament primari, però eren enunciats amb un llenguatge més propi de la màgia que no pas d’una veritable ciència. Coneixien els nombres enters positius i alguns nombres fraccionaris. Calculaven l’àrea del cercle donant a π el valor: π = 3,16.

A Babilònia l’aritmètica assolí un desenvolupament semblant al d’Egipte, bé que el que impulsà el progrés del coneixement fou l’astronomia amb finalitats astrològiques. Hom emprava el sistema de numeració de base 10 i el de base 60. És en aquest fet on cal cercar l’origen de la divisió sexagesimal de la circumferència, usada encara avui.

Els matemàtics indis, dins la mateixa línia empírica, s’ocuparen de la consideració dels grans nombres (al cel hi ha 24 milions de milions de déus) i introduïren la noció de zero, fonamental per als sistemes de numeració de posició i la d'infinit. L’aritmètica pràctica era també exposada per mitjà de regles de les quals hom no donava demostració i que sovint eren falses.

La matemàtica xinesa constava de preceptes no demostrats i molt sovint erronis.

Fou a Grècia, amb l’escola pitagòrica, on hom començà a aprofundir el concepte de nombre abstracte. Hom estudià relacions numèriques en moltes qüestions, àdhuc fora de la matemàtica. Amb l’entusiasme que provocava el descobriment de nombres en moltes facetes del coneixement, els pitagòrics arribaren a afirmar que “tot són nombres”. Els grecs no conegueren cap sistema de numeració apte per a facilitar el càlcul numèric (designaven cada nombre amb una lletra) i la seva aritmètica fou, sobretot, teòrica. Euclides aprofundí, amb llenguatge geomètric, la teoria dels nombres naturals, fraccionaris i irracionals. Arquimedes, primer científic que es preocupà de les aplicacions de la ciència a la vida pràctica, féu progressar el càlcul numèric i arribà a obtenir per al nombre π el valor 22/7 = 3,14. Diofant (s. III dC), malgrat haver viscut en una època en la qual la ciència era més de recopilació que no pas de creació, constituí una brillant excepció que portà molt enllà els coneixements aritmètics. La seva Aritmètica conté un estudi molt seriós de les equacions i dels sistemes d’equacions que ha exercit una gran influència en la ciència posterior a través dels àrabs, que la traduïren al segle XII.

Durant l’edat mitjana, en efecte, l’aritmètica fou estudiada per científics islàmics, dels quals passà a l’occident cristià a través de traduccions o reelaboracions llatines. Després de Diofant, l’aritmètica restà aturada fins al Renaixement. Pierre de Fermat (~1608-1655), recolzat precisament en l’obra de Diofant, desenvolupà la teoria dels nombres.

Entre els matemàtics que, posteriorment, contribuïren al desenvolupament de la teoria dels nombres, cal esmentar Leonhard Euler (1707-1783), Joseph Louis de Lagrange (1736-1813), Adrien Legendre (1752-1833) i Richard Dedekind (1831-1916). Georg Cantor (1845-1918) i Giuseppe Peano (1858-1932) iniciaren la fonamentació rigorosa del concepte de nombre natural deduït de la teoria de conjunts o bé en forma axiomàtica.

L’aritmètica als Països Catalans

Als Països Catalans hi hagué també, durant el Renaixement, un interès per l’aritmètica. El 1482 fou publicada a Barcelona la Summa de l’art d’aritmètica de Francesc Santcliment, que utilitzà ja la numeració aràbiga. Dins aquest període cal situar també l’obra en castellà del morisc xativí Joan Andreu, Sumario breve de la práctica de la aritmética (València 1575) i, sobretot, l'Aritmètica del mallorquí Joan Ventallol, publicada en català a Lió el 1521, tinguda en compte en el compendi francès d’aritmètica traduït al castellà per Antic Roca (Barcelona 1564). Aquesta obra fou traduïda al castellà per Joan Baptista Tolrà (Tarragona 1619). El 1552 fou publicat a València un llibre d’aritmètica algebraica amb el títol de Despertador de ingenios, pel mestre d’escola alemany resident a València, Marc Aurel, que exercí una gran influència en el desenvolupament de la matemàtica, especialment de l’àlgebra. En pocs anys foren publicats, a més de l’esmentada obra d’Antic Roca, els tractats, en llatí, de Pere Joan Montsó (Elementa arithmeticae, València 1559, 1566, 1569) i de Jeroni Munyós (Institutionis arithmeticae, València 1566). A la fi del segle XVI fou publicada a Barcelona l’obra de Bernat Vila, Regles breves d’aritmètica ab la teoria i art per a inventar-les i trobar-les (1596).

Des de la fi del segle XVII, l’aritmètica, així com les altres ciències exactes, tornà a conèixer als Països Catalans una nova florida: Joan Aparici (mort a València el 1696) deixà dos grans tractats d’aritmètica manuscrits en llatí; Josep Saragossà (Arithmetica universal, València 1671); Joan Baptista Coratjà (Arithmetica theorico-practica facili modo explicata ac demostrata, 1696, obra traduïda al castellà —València 1699 i Barcelona 1735— i al francès); Tomàs Vicent Tosca (Compendio matemático que se contienen las materias más principales de las ciencias que tratan de la cantidad, València 1709-15); Andreu Puig (Aritmética especulativa y práctica, Barcelona 1745); Tomàs Cerdà (Lecciones de Matemáticas o Elementos generales de Aritmética y Álgebra, Barcelona 1758); Benet Baïls (Elementos de Matemáticas, en dos volums, 1772-83); Francesc Xavier Rovira (Compendio de Matemáticas, Cadis 1781-91); Gabriel Ciscar (Tratado de Aritmética, Múrcia 1795). Tots aquests no es limitaren, però, a l’aritmètica, sinó que, juntament amb d’altres científics, com Jordi Joan, Josep Chaix o Francesc Aragó, donaren a conèixer les formes més evolucionades del càlcul matemàtic (matemàtica).

Didàctica de l’aritmètica

L’ensenyament de l’aritmètica, dels nombres i del càlcul numèric és relacionat amb els conceptes de nombre i d’operació, d’una banda, i amb els mètodes pedagògics i de coneixement de l’infant, de l’altra. L’escola tradicional ha utilitzat el mètode verbal. Els conceptes matemàtics eren elaborats amb símbols gràfics i amb mots, i l’infant els havia d’adquirir manejant aquells símbols. Per mitjà d’aquest mètode hom passava massa ràpidament de situacions senzilles amb nombres petits a un excés d’aprenentatge de memòria, i a obeir mecànicament unes regles de càlcul. Els mètodes basats en la intuïció, la percepció visual i la imaginació han marcat una nova etapa dins l’ensenyament de l’aritmètica. L’infant comença jugant amb boles, pinyols, etc., i aprèn a reconèixer el símbol exacte que representa el nombre que correspon a cada conjunt. Després empra “fitxes-models” com són els grans dòminos; també són emprats àbacs. Els qui recomanen aquest mètode sembla que admeten que el concepte de nombre s’elabora per percepció; suposen que existeix una mena de correlació entre els materials numèrics emprats i les estructures mentals que evoquen.

Els mètodes Montessori i Decroly es fonamenten en l’observació i la mesura; el primer amb l’ajuda d’un material concret, i l’altre fixant l’atenció en la variació d’un fenomen de la natura. Ambdós mètodes volen facilitar a l’infant el pas del qualitatiu al quantitatiu, al nombre i a la mesura. Dins aquesta línia hom pot considerar el mètode de Catherine Stern. Un material estructurat, com el de Cuisinaire, permet a l’infant de descobrir per ell mateix moltes relacions matemàtiques. Jean Piaget ha mostrat que el concepte de nombre no es fonamenta en imatges o en la capacitat d’emprar símbols materials o verbals, sinó en la formació i la sistematització en la ment infantil de dues operacions: classificació i seriació. La idea de nombre no és lligada a l’estructura física del material emprat; el nen ha de poder classificar i ordenar el material i comparar-lo amb un material qualsevol.

La nova perspectiva en l’ensenyament de l’aritmètica, basat en la matemàtica nova, correspon a les descobertes psicològiques de Piaget. El nombre cardinal és introduït com un atribut dels conjunts finits equipotents, i abans d’aprendre les operacions amb nombres hom descobreix les lleis de les operacions amb conjunts.

Col·laboració: 
JCR

Llegir més...