Els plans, juntament amb els punts i les rectes, són els elements geomètrics primitius en l’axiomatització de Hilbert de la geometria. D’altra banda, un pla és determinat per tres punts no alineats, o bé per dues rectes que es tallin o siguin paral.leles, o bé per un punt i una recta que no contingui el punt. A l’espai euclidià ℝ 3
un pla pot ésser representat per l’equació A
( x—
x 1
) + B
( y—
y 1
) + C
( z—
z 1
) = 0, en la qual
x 1
,
y 1
,
z 1
són les tres coordenades d’un punt
P 1
donat del pla, A, B, C
són les tres components d’un vector N
normal al pla, i x, y, z
són les tres coordenades d’un punt P
genèric del pla. L’equació anterior pot ésser reduïda a la forma Ax + By + Cz = D
, on D =
Ax 1
+
By 1
+
Cz 1
. Dos plans són paral.lels entre si quan coincideixen o no tenen cap punt comú. Això equival a tenir els vectors normals linealment dependents, i si
A 1 x +
B 1 y +
C 1 z +
D 1
=
0
A 2 x +
B 2 y +
C 2 z +
D 2
=
0
són llurs equacions, es verifica que:
A 1
=
λA 2
,
B 1
=
λ
B 2
,
C 1
=
λ
C 2
Un pla és paral·lel a una recta quan la recta hi és continguda o bé no tenen cap punt comú. Dues rectes s’anomenen paral·leles quan tenen la mateixa direcció. Si
són llur equacions, ha de passar que:
n 1
= λ w 2
, n 2
= λ
w 2
, v 3
=
λ
w 3
En el pla, si dues rectes no es tallen, són paral.leles. Un pla és tangent a una superfície x = x
( u, v
), y = y
( u, v
), z = z
( u, v
) en un punt, si l’equació del pla és:
Aquest pla té la propietat de contenir tots els vectors de la forma: d r
/ dt
, on r = x i + y j + z k
i u =
u( t
), v = v
( t
) són dues funcions derivables del mateix paràmetre t.