Estudià al Conservatori Superior de Música de Barcelona, on fou deixeble de Josep Trotta. A partir del 1968 completà la formació a la Schola Cantorum Basiliensis com a deixeble de Wieland Kuijken i d’August Wenzinger, el qual succeí (1973) en la direcció de l’acadèmia. Fundà, el mateix any, el grup Hespèrion XX, dedicat especialment a l’estudi i la interpretació del repertori hispànic. El 1987 creà La Capella Reial de Catalunya, grup especialitzat en la interpretació de música religiosa, i el 1989, Le Concert des Nations, dedicat sobretot a la música antiga amb el màxim rigor històric, en el qual ocupà també un lloc molt rellevant la seva esposa, la soprano Montserrat Figueras i Garcia. Considerat internacionalment com un dels intèrprets de viola de gamba més rellevants, ha actuat arreu del món i ha enregistrat nombrosos discos. El 1997 creà el Centre Internacional de Música Antiga i un any després la seva pròpia discogràfica (Alia Vox). El seu tarannà creatiu l’ha dut a repassar la música antiga amb noves lectures artístiques, en què la fidelitat històrica troba la seva concordança amb la noble elegància de la recreació sonora i expressiva de l’obra. La recuperació de la improvisació i l’assoliment d’una interpretació plenament revitalitzada li confereixen un estil interpretatiu inconfusible que el situa entre els principals artífexs del procés de revaloració de la música històrica. Un dels seus grans reptes ha estat aconseguir l’interès del gran públic per la música antiga.
Ha compost també les bandes sonores de diversos films: Tous les matins du monde, d’Alain Corneau (1991, guardonada amb un César); Jeanne la Pucelle, de Jacques Rivette (1993); El pájaro de la felicidad, de Pilar Miró (1993); Hosszú alkony, d’Attila Janisch (1997); Marquise, de Véra Belmont (1997), i Secret défense, de Jacques Rivette (1998). Fora del seu repertori habitual centrat en la música antiga, del Renaixement i del Barroc, cal esmentar l’enregistrament del Rèquiem de Mozart el 1992, compositor al qual retornà el 2017 amb la interpretació de les tres darreres simfonies al capdavant de Le Concert des Nations. Amb la mateixa formació, el 1994 dirigí i enregistrà la Tercera Simfonia (Heroica) de Beethoven i, dins del projecte Académie Beethoven 250 per a la commemoració del 250 aniversari del compositor alemany (2019-20), el juny del 2019 inicià a l’Auditori de Barcelona la interpretació de les nou simfonies.
La seva nombrosa discografia (més de 230 títols) ha estat reconeguda amb nombroses distincions: premis de l’Acadèmia Charles Cros (1989 i 1993), Grand Prix de l’Académie du Disque Français (1988-89), Diapasó d’Or (1991), Midem Classical Awards (1999, 2000, 2003, 2004, 2005, 2006, 2008 i 2010), Grammy al millor treball de petita orquestra per Dinastia Borja. Església i poder al Renaixement (2010) i el mateix any el premi de l’Acadèmia de les Arts i les Ciències de la Música espanyola per The Celtic Viol II. Ha rebut també en diverses categories l’International Classical Awards (2011, 2012, 2014, 2015 i 2016). La seva trajectòria i el conjunt de la seva obra han merescut també reconeixements: Creu de Sant Jordi (1990), la Medalla d’Or del mèrit en les belles arts (1998), el Premi d’Honor Jaume I (2000), la Medalla d’Honor del Parlament de Catalunya (2003), el nomenament d’Artista per la Pau de la UNESCO (2008, compartit amb Montserrat Figueras), el Premi Nacional de Cultura 2009 en la categoria de música i el Premi Internacional de la Música per la Pau del govern de la Baixa Saxònia (2010). L’any 2011 ingressà com a membre d’honor a l’Acadèmia del Cinema Català, el 2012 rebé el Léonie Sonning Music Prize, atorgat per la fundació danesa del mateix nom, i el 2013 la insígnia de cavaller de la Legió d’Honor de la República Francesa. L’any 2014 li fou atorgada la Medalla d’Or de la Generalitat de Catalunya, i el mateix any rebutjà el Premio Nacional de música. El 2015 rebé la Medalla d’Or al mèrit cultural de la Ciutat de Barcelona i el 2017 el premi Ciutat de Barcelona a la projecció internacional pels tres concerts del projecte El somni d’Orfeu. Músiques per la vida i dignitat dels refugiats. El juny del 2017 fou el primer premiat amb el Guardó Pau Casals atorgat per la Generalitat de Catalunya a la projecció internacional de la cultura catalana, que li atorgava el títol de legat d’honor de la cultura catalana durant dos anys. El febrer del 2022 fou distingit com a membre d’honor de la Royal Philharmonic Society.