Fill de militar, a vuit anys es traslladà amb la seva família a Palma. Llicenciat en farmàcia a la Universidad Complutense, ha exercit a Marratxí, on inicià la seva carrera política dins del Partido Popular (1996) com a regidor a l’oposició. Posteriorment fou tinent d’alcalde d’Urbanisme i Sanitat i, en virtut d’un pacte entre el PP amb un partit independent d’àmbit municipal, alcalde en 2005-07 i, novament i en solitari, des d’aquest any fins al 2011.
Vicepresident del PP de Balears des de l’any 2008, al setembre del 2009 substituí Rosa Estaràs a la presidència. Al febrer del 2011 ocupà l’escó d’un diputat dimissionari al Parlament de les Illes Balears. En les eleccions a aquesta cambra del 22 de maig d’aquest mateix any encapçalà la candidatura del PP, que guanyà els comicis per majoria absoluta, cosa que li possibilità ser investit nou president balear en substitució de Francesc Antich. La seva política lingüística, d'una beligerància sense precedents a les illes contra el català a l'ensenyament i a l'administració comportà massives mobilitzacions en contra i crítiques fins i tot des del seu propi partit. Tanmateix, impulsà un decret de trilingüisme a les escoles conegut per TIL que fou declarat nul pels tribunals (2014). Després del fort retrocés del PP en les eleccions al Parlament Balear del maig del 2015 (tot iser la força més votada), anuncià la renúncia a la presidència del partit al juliol. Bauzà fou substituït a la presidència balear per Francina Armengol al capdavant d'una coalició d'esquerres. Al desembre del 2015 fou designat senador autonòmic. Al gener del 2019 anuncià la renúncia a l'escó i la baixa del PP per, segons considerava, aquest partit havia contribuït a la "catalanització" de les Illes Balears. A l'abril anuncià la incorporació voluntària a l'exèrcit com a reservista.