vector

m

Física

Matemàtiques

Vector

Element d’un espai vectorial.

Des del punt de vista geomètric, a tot vector se li pot associar direcció, mòdul i sentit, i un punt d’aplicació. Segons les seves posicions relatives, es parla de vectors simètrics, oposats, conjugats, ortogonals, etc.

Fixada una base de vectors e1,...,en en un espai vectorial E de dimensió n (base d’un espai vectorial), tot vector x de E pot ésser expressat en forma única com a combinació lineal dels elements de la base: x = x1e1 + ...+ xnen. Així, x resta determinat pels nombres x1,x2,...,xn, els quals són dits components de x; hom ho escriu x = (x1,...,xn). Si en E hom defineix un producte escalar (i en particular la noció de distància i d’angle) mitjançant x·y = x1y1 + x2y2 + ... + xnyn, aleshores les components resulten ésser les projeccions ortogonals del vector sobre els eixos de referència.

Vector fix del pla (a dalt) i de l’espai (a baix)

© Fototeca.cat

Dos vectors són dits ortogonals si el seu producte escalar és zero. Dos vectors són oposats si la seva suma és zero. Hom sol identificar tot punt (x1, x2,..., xn) amb el segment orientat o sageta que té per origen l’origen de coordenades (0, 0, ..., 0) i punt final (x1, x2, ..., xn); en aquest cas, hom parla de vector fix: la recta que conté el vector és dita direcció, el punt final determina el sentit, i el mòdul, o longitud del vector, és Són particularment corrents els vectors del pla ℝ2 i de l’espai ℝ3, que tenen 2 i 3 components, respectivament. En el primer cas, dos vectors simètrics respecte a l’eix OX són anomenats conjugats. La relació d’equipol·lència permet de passar a considerar vectors lliures, on cada vector lliure és el conjunt de vectors obtinguts per translació qualsevol d’un vector fix dels descrits abans. Aquesta noció de vectors pot ésser estesa a espais vectorials de dimensió infinita.