Inicià la carrera professional a la ràdio (Ràdio Joventut i Ràdio Terrassa), i del 1970 al 1984 treballà a Ràdio Barcelona. Del 1984 al 1989 fou cap de programes radiofònics de la Corporació Catalana de Ràdio i Televisió (actual Corporació Catalana de Mitjans Audiovisuals), i fins el 1994 conduí diversos programes de Catalunya Ràdio i Televisió de Catalunya, d’entre els quals el magazín radiofònic El matí de Josep Cuní (1985-95) aconseguí ser líder d’audiència a Catalunya de manera continuada durant anys, cosa que succeïa per primera vegada en la història de la ràdio en català des del franquisme. Per aquest programa obtingué els premis Ondas del 1988 i el 1990, el premi Ciutat de Barcelona de radiodifusió del 1988, el premi Òmnium Cultural de ràdio i televisió del 1988 i el premi Avui de periodisme del 1990. L’any 2002 rebé el premi Ràdio Associació al millor professional de ràdio a Catalunya.
També presentà diversos informatius, espais d’entrevistes, debats, magazins i reportatges a TV3 i al Canal 33, entre els quals cal esmentar Les notícies al Canal 33, amb què obtingué el premi APEI (Associació Professional Espanyola d’Informadors) el 1991. En 1995-2000 presentà a COM Ràdio el magazín matinal Els matins amb Josep Cuní, que del 2000 al 2003 passà a Ona Catalana, programa amb el qual obtingué el premi APEI el 1998.
L’any 2004 inicià la presentació i direcció del magazín televisiu diari Els Matins a TV3, que rebé els premis Ondas, APEI (2005), Òmnium (2009) i Nacional de Comunicació (2010), i fou un dels programes més seguits de Televisió de Catalunya. El juny del 2011 en deixà la direcció i s’incorporà a l’emissora privada 8tv, del grup Godó, per presentar-hi el programa d’actualitat política 8 al dia. Abandonà el programa i el grup el juny del 2017. El gener del 2018 s’incorporà a la cadena Cuatro amb una sèrie de documentals amb el títol La América de Donald Trump, format que posteriorment amplià a altres reportatges internacionals. Al setembre d’aquest any signà amb la Cadena SER la direcció i presentació d’un magazín diari en català sota el nom d’Aquí, amb Josep Cuní, emès a partir de l’octubre.
El 1995 fundà la productora de ràdio i televisió Broadcaster. Articulista a la premsa escrita (El Periódico, Avui, La Vanguardia), en el camp acadèmic ha estat director fundador del Màster de Periodisme Columbia University / Universitat de Barcelona (1998) i professor de la Facultat de Periodisme de la Universitat Pompeu Fabra (1993-98). És autor dels llibres Fora d’antena. Què s’amaga darrere d’un micròfon (1996) i La ràdio que triomfa. L’abecedari d’això que en diem magazín (1999). L’any 2016 rebé el premi Quim Regàs de periodisme a la trajectòria i el 2017 la Creu de Sant Jordi.