Resultats de la cerca

Per demostrar que un conjunt infinit és infinit de Dedekind cal l’axioma de l’elecció

És també formulable en termes de successions de Cauchy i de talls de Dedekind

Hom obté el conjunt dels nombres reals completant el conjunt dels nombres racionals amb tots els nombres irracionals que poden ésser representats sobre la recta, tals com etc La manera més simple d’introduir teòricament i d’utilitzar en la pràctica els nombres reals és per mitjà de llur expressió decimal Tot nombre real és expressat en forma decimal amb infinites xifres que, en el cas dels nombres irracionals, no es repeteixen periòdicament Això suposa que per a definir un nombre real cal donar una llei que permeti d’obtenir tantes xifres decimals com hom vulgui A la pràctica, però, hom pren…

El concepte de nombre ha anat evolucionant al llarg de la història així, al principi anava enllaçat amb el simple ús de xifres o guarismes per a comptar sistemes de numeració Els nombres 1, 2, 3, 4, etc, ja eren usats en les antigues cultures babilònica, egípcia, xinesa la qual coneixia els negatius i índia la qual introduí el zero Aquest ús de xifres no implicava, però, cap concepte abstracte de nombre A l’antiga Grècia els pitagòrics consideraren que el nombre era una estructura determinada, immanent a totes les coses això generà la numerologia grega o mística, basada en les propietats…

En la història de la teoria de nombres hom pot assenyalar dos grans períodes un que va des d’Euclides fins a Hilbert, i un altre que comença a partir de Hilbert Els primers tractats de teoria de nombres es troben en els Elements d’Euclides i en l' Aritmètica de Diofant d’Alexandria, i tracten, respectivament, de la divisibilitat en els racionals enters i de l’obtenció de solucions racionals i enteres d’algunes equacions algèbriques La figura més coneguda d’aquesta primera etapa és la del matemàtic francès Pierre de Fermat 1601-65, que conjecturà el famós gran teorema de Fermat encara avui no…

L’aritmètica ha nascut a totes les civilitzacions ensems amb el llenguatge per anomenar conjunts de persones o d’objectes i després per facilitar els intercanvis comercials Els egipcis s’havien ocupat d’alguns problemes aritmètics, i les obres que n'han estat conservades la més antiga de les quals és el papir Rhind ~s XVII aC contenen la resolució d’algunes qüestions numèriques sense dir en quines propietats recolza la resolució, ni menys encara justificar-les El nivell de llurs coneixements era, aproximadament, el de l’actual ensenyament primari, però eren enunciats amb un llenguatge més…

És el desenvolupament modern del càlcul infinitesimal, elaborat durant els segles XVII i XVIII, que tenia com a principals problemes el de les quadratures determinació de la longitud d’una corba i de les àrees i volums de figures i el de la tangència traçat de tangents a corbes i superfícies Els coneixements que s’anaren acumulant sobre aquests temes formaren els càlculs integral i diferencial, cor d’aquesta disciplina matemàtica L’anàlisi matemàtica presenta els trets distintius de l’abstracció i generalitat dels seus mètodes, característics del rigor del raonament lògic És el resultat d’una…

Hom l’aplica, per tant, en les situacions on hi ha un conjunt ben definit i una noció clara d’operació entre els seus elements operació interna o entre aquests i els elements d’altres conjunts operació externa L’àlgebra ha evolucionat des de l’interès inicial per a resoldre problemes fonamentalment pràctics fins al desenvolupament del mètode abstracte Dues inclinacions diferents han desembocat en l’àlgebra moderna D’una banda, l’ àlgebra clàssica , simple instrument per a fer càlculs i resoldre equacions que usava només els conceptes immediats que hom…

Aquesta definició, des del punt de vista matemàtic, no és vàlida, i, així, en matemàtiques la noció de conjunt no és definida, i s’inclou dins del desenvolupament d’una teoria axiomàtica que eviti les paradoxes i contradiccions com les que, a començament del segle XX, posaren en qüestió no solament la teoria de conjunts, sinó bona part de la matemàtica Hom no defineix, doncs, ni conjunt, ni element, ni la relació de pertinença, i es conforma amb la idea intuïtiva del que signifiquen frases com Un conjunt és format per elements, o l’element 4 pertany al conjunt dels nombres naturals La…

Aquesta definició és força descriptiva, però incompleta, i per això diversos matemàtics han intentat de definir la matemàtica tot assenyalant-ne els trets més característics Així, segons B Russell, la matemàtica consisteix només en afirmacions tals com “si una proposició és veritable referida a un objecte, aleshores una altra proposició també ho és”, de manera que la matemàtica és aquell camp en què hom no sap mai de què parla ni si allò que diu és veritat o no Dins aquesta mateixa línia, H Poincaré diu que els matemàtics no estudien objectes, sinó relacions entre objectes no els…