El càlcul combinatori i les matrícules

El sistema de matriculació de vehicles

El 18 de setembre de l’any 2000, en ple Any Internacional de les Matemàtiques, s’estrenà a l’Estat espanyol el model “europeu” de matriculació de vehicles. Aquell mateix dia es matriculà el darrer cotxe amb la simbologia clàssica, en concret el M-6814-ZX (van quedar 23.186 plaques per assignar).

La mesura fou motiu de debat i d’oposició, però, malgrat tot, va acabar imposant-se. Les principals raons oficials per adoptar el canvi foren contribuir a la sensibilització de la ciutadania sobre la integració europea, seguir un model compartit per diversos estats europeus i afavorir les vendes de cotxes de segona mà.

Les noves plaques (de 52 x 11cm) van substituir les anteriors (2 cm més curtes i amb quasi cent anys d’història) canviant els distintius “provincials” per una “E ” d’Espanya a sota de la bandera de la Unió Europea i una combinació alfanumèrica de tres lletres (començant per la BBB i acabant per ZZZ) i quatre números (on el primer és el 0000 i el darrer el 9999).

En les lletres no s’inclouen les vocals per evitar que les combinacions produeixin mots que “no sonin bé” o siguin “grollers” –per exemple PET, TAP, PIS– ni la “LL”, “CH” “Ñ” i la “Q”, aquestes darreres per no confondre-les amb la “N” i la “O”. Per tant, les lletres admeses són les 20 següents: B, C, D, F, G, H, J, K, L, M, N, P, R, S, T, V, W, X, Y i Z; que s’assignen per ordre alfabètic. Els números sempre són quatre dígits, per això es posen zeros a l’esquerra al costat dels inferiors a 1000, d’aquesta manera el 423 s’escriurà com 0423.

Quina quantitat de cotxes es poden matricular?

Per fer aquest càlcul usarem la fórmula anomenada variacions amb repetició de “m elements agafats de n en n”, perquè permet calcular de quantes maneres es poden agrupar m elements de grandària n en cada grup, de forma que es puguin repetir sense que importi l’ordre de col·locació:

VR_mn = mⁿ

En el cas de les matrícules, com que cal comptar quantes combinacions de tres lletres podem fer amb les vint autoritzades, tenint en compte que es poden repetir caràcters, utilitzarem les anomenades variacions amb repetició de 20 elements agafats de tres en tres:

20³ = 20 · 20 · 20 = 8.000 maneres d’escollir tres lletres (BCD,FDB,BDF,FFC...)

D’altra banda, també cal comptar de quantes maneres podem escriure els números 0, 1, ..., 9 en grups de quatre dígits, tenint en compte que també es poden repetir xifres. Això suposa 10 elements agafats en grups de quatre:

10⁴ = 10 · 10 · 10 · 10 = 10.000 maneres possibles.

En total es poden fer, doncs, 8.000 x 10.000 = 80.000.000 de plaques de matrícula diferents.

Tenint en compte les matriculacions realitzades d’ençà de la implementació del nou format (es poden consultar a https://www.idescat.cat/pub/?id=aec&n=590&t=2021) resulta una mitjana de 20.000.000 de matriculacions de turismes cada 10 anys, per la qual cosa podem afirmar que l’actual sistema té vida fins a aproximadament l’any 2040.

Algunes curiositats sobre les matrícules

1. El primer vehicle matriculat a Espanya amb el format europeu (0000-BBB) va ser un Mercedes 230 SL.
2. Les matrícules especials es distingeixen pel color del fons de la placa, pels colors dels números i per un caràcter alfabètic que precedeix la combinació alfanumèrica:
   1. C per a ciclomotors amb dígits negres sobre fons groc
   2. E per a vehicles especials, amb dígits vermells sobre fons blanc
   3. H per a vehicles històrics, amb dígits negres sobre fons blanc
   4. P per a autoritzacions temporals per a particulars, amb dígits blancs sobre fons verd
   5. R per a remolcs, amb dígits negres sobre fons vermell
   6. S per a autoritzacions temporals per a empreses i en vehicles nous, amb dígits blancs sobre fons vermell
   7. T per a matricules turístiques, amb dígits negres sobre fons blanc
   8. V per a autoritzacions temporals per a empreses i en vehicles usats, amb dígits blancs sobre fons vermell