Essències relativistes

Abans de res, un aclariment i una disculpa. En un anglès seriós (soc ara als EUA), el títol d’aquesta entrada podria haver estat: “Essentials of relativity theory”; però prefereixo el que porta, molt més suggeridor. La disculpa es refereix al fet que el lector (o lectora, sobreentenc sempre implícit el doble gènere) pot quedar decebut, si espera trobar aquí gaires detalls sobre les teories relativistes. Només es descriuran els seus principis fonamentals, això és, la seva essència.

Cal dir que aquest escrit ha estat motivat per una de les preguntes que es van fer a la taula rodona “Donant veu a la curiositat”, acte en commemoració del centenari de la visita d’Albert Einstein a Catalunya, organitzat per la Fundació Catalana per a la Recerca i la Innovació (FCRi), amb la col·laboració de Divulcat i Astro Barcelona, que va tenir lloc el 30 de març passat. La dita pregunta, convenientment reformulada per Meritxell Plana, competent moderadora de la taula, va ser: “La teoria de la relativitat es basa en...”. La resposta s’havia de donar al cap d'un parell de minuts, i així ho vaig fer a l’acte. Aquí disposem d’alguns minuts més per tal de completar-la amb més detall.

La relativitat galileana

Fig. 1 Galileo Galilei (1564-1642). Retrat a l’oli d’un pintor italià, es creu que del segle XVIII. - Imatge: CC. Wellcome Trust, UK, Creative Commons Attribution 4.0 Llicència Internacional

El gran Galileo Galilei (1564-1642), a qui se sol considerar com el fundador de la ciència moderna (Fig. 1), va ser el primer a formular d’una manera extremadament clara i concisa el principi de relativitat, també dit de covariància. Aquest principi expressa, de manera simple i natural, el fet que té sentit parlar de lleis de la física; és a dir, que aquestes no canvien, són immutables, quan ens desplacem a qualsevol altre lloc de l’univers o pugem sobre un vehicle que es mou en línia recta i a una velocitat constant. D’això se’n diu un sistema inercial que, en absència de cap força que hi actuï a sobre, restarà sempre igual, indefinidament.

Galileu, en el seu famós llibre de 1632 "Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo" va expressar de manera magistral aquest principi, en boca de Salviati, quan proposa (el segon dia) el següent experiment [silenci, si us plau, és Galileu mateix qui ens parla ...]:

“Tanqueu-vos amb un amic a la cabina principal, sota la coberta d’un vaixell més aviat gran, i porteu amb vosaltres, mosques, papallones i altres petits animals voladors. Pengeu una ampolla perquè es vagi buidant, gota a gota, en un ampli recipient situat a sota. Feu que el vaixell vagi a la velocitat que preferiu, però sempre la mateixa: un moviment uniforme, sense fluctuacions en un sentit o altre. Les gotes cauran en aquest recipient, sense desviar-se a popa, encara que el vaixell hagi avançat mentre les gotes encara eren a l’aire. Les papallones i mosques seguiran amb el seu vol habitual de banda a banda, com si mai no es cansessin de seguir el curs del vaixell, per ràpid que aquest vagi; i mai no succeirà que es concentrin a la popa d'aquest.”

És certament una descripció precisa i preciosa del principi de relativitat. Ara bé, quedi ben clar, les lleis de la física no canvien, però sí que ho fa la descripció del que succeix, depenent d'on ens situem. Això és subtil: la llei física, formulada en termes d'una equació diferencial, és invariable, com la mateixa equació, però en situarnos en un sistema de referència o un altre les condicions inicials canvien i la descripció del que passa en torn nostre també. Aquesta s’ha de modificar, aplicant una transformació del que ara es coneix com el grup de Galileu, per passar del sistema de referència situat a terra ferma al sistema de referència fixat al vaixell, o viceversa. En aquest darrer sistema, el vaixell roman quiet, i és el mar al seu voltant i el port d’on va salpar els que es desplacen constantment. D’aquí ve el nom de relativitat: la descripció des de cada sistema de referència és diferent, tot i que la llei física, l’essència, és la mateixa.

La relativitat galileana és la més senzilla de totes les teories relativistes. Galileu va tenir intuïcions genials que va lligar amb observacions de la natura i alguns experiments que dugué a terme personalment. Li mancaven coneixements de matemàtica, que de fet ell mateix va proclamar que era el llenguatge amb què s’havien d’escriure les lleis de la natura. Però Galileu va fer servir gairebé exclusivament la geometria. En opinió del gran premi Nobel Steven Weinberg, si hagués emprat més eines de l’àlgebra hauria pogut arribar molt més lluny encara (vegeu el meu blog). El fet que fos capaç de formular de manera tan acurada, amb paraules planeres, el principi de relativitat és una clara evidència que aquesta afirmació no va pas desencaminada.

Fa cinquanta anys, Jean-Marc Lévy-Leblond va dedicar els seus esforços a rescatar i a polir la relativitat galileana, formulant-la matemàticament d’una manera semblant a la relativitat especial d’Einstein. Dels seus treballs [1] va sorgir una teoria elaborada i preciosa, que discorre de manera paral·lela a la molt més famosa teoria d’Einstein, que discutirem a continuació. De fet, només hi ha una diferència, aparentment petita però absolutament essencial: la constància de la velocitat de la llum, c, en qualsevol sistema de referència inercial, que implica a més que el seu valor mai no pot ser superat (per transmetre informació de cap mena).

Acabarem aquest breu resum de la relativitat de Galileu amb dos comentaris. El primer, que la crítica que Weinberg fa a Galileu també es podria estendre a Isaac Newton (1642-1727) que, tot i ser el creador —juntament amb Wilhelm Leibniz (1646-1716)— del poderosíssim càlcul infinitesimal, mai no el va fer servir d’una manera pràctica en la formulació de les lleis de la seva mecànica, que en els Principia es donen sota la forma d’inacabables paràgrafs difícils de digerir i de fer servir.

El segon comentari té a veure amb el meu treball personal en aquest tema; en particular, el que vaig dur a terme per a la tesi de doctorat. Partint dels articles de Lévy-Leblond i d’altres autors, vaig arribar a connectar en els dos sentits, pel que fa a la teoria dels grups de Lie de les respectives transformacions —i fent servir tècniques de contracció i dilatació de grups en dimensions cambiants— els grups de Galileu i els de Lorentz i de Poincaré, que corresponen a la teoria especial de la relativitat (Fig. 2). No toca ara aprofundir en aquests conceptes, però sí cal subratllar que tots aquests desenvolupaments han donat encara més rellevància a les idees i formulacions de Galileu, com a veritable pioner de les teories relativistes.

Fig. 2 A l'esquerra, Hendrik Lorentz (1853-1928) i, a la dreta, Henri Poincaré (1854-1912) - Imatge: Wikimedia Commons. Domini públic.

La teoria especial de la relativitat

Fig. 3 Albert Einstein al voltant del 1905, el seu “annus mirabilis”, en què va publicar quatre articles transcendentals. Un dels quals: “Zur Elektrodynamik bewegter Körper”, el treball amb què va construir la teoria especial de la relativitat - Imatge: Domini públic.

Cap a finals del 1905, en un dels quatre treballs històrics redactats durant el que s’anomena el seu annus mirabilis, Albert Einstein va publicar la seva teoria especial de la relativitat (Fig. 3). De manera magistral, en un d'aquests fou capaç de derivar la transformació de Lorentz sota els dos únics supòsits del principi de relativitat o covariància (el de Galileu, que ja hem vist) i de la constància de la velocitat de la llum (en condicions ideals de buit) en qualsevol sistema de referència inercial —fet que havia estat ratificat en el famós experiment de Michelson i Morley— i abandonant al mateix temps l’èter per innecessari. [2]

Va omplir, així, de sentit les transformacions de Lorentz (que consisteixen en rotacions i desplaçaments a velocitat constant) i de Poincaré (que inclouen a més translacions en l’espai), que ja havien estat considerades prèviament per diversos físics des del 1887. Val a dir que aquestes transformacions queden reduïdes a les de Galileu quan la velocitat entre els dos sistemes de referència és molt més petita que la de la llum.

Resumint, pel que fa als postulats, en la seva teoria especial de la relativitat, Einstein només va afegir, al principi de relativitat degut a Galileu, un segon postulat, que estableix que la velocitat de la llum en el buit és la mateixa per a qualsevol sistema de referència inercial. Les conseqüències que es deriven d’aquests dos postulats, tan naturals i senzills, són extraordinàries i molt difícils de pair per als que ens movem sempre a velocitats insignificants comparades amb la de la llum. Apareixen fenòmens del tot inversemblants, com el fet que la simultaneïtat de dos successos és relativa (al sistema de referència), es produeix la dilatació del temps, la contracció de la longitud, una contribució relativista a l’efecte Doppler, i molts més fenòmens que ens semblen incomprensibles.

Tots aquests són conseqüències immediates dels dos postulats i s’obtenen fent ús de les transformacions de Lorentz corresponents. Ben cert és que es manifesten només quan la velocitat a la qual viatja un sistema respecte de l’altre és propera a la de la llum, però cal recordar que aquesta condició ja es dona en multitud d’experiments de laboratori duts a terme amb partícules elementals o molt petites, i de fotònica, a molt diversos nivells (pensem en els omnipresents senyals GPS, que fem servir tothora).

Però la conseqüència més extraordinària, des de molts punts de vista, que va tenir la teoria especial de la relativitat d’Einstein fou la constatació de l’equivalència entre la massa i l’energia, expressada de manera ben senzilla per la tan famosa fórmula: E=mc². Einstein va tardar a escriure-la d’aquesta forma; no ho va fer en el treball del 1905, en el qual la va expressar d’una manera indirecta. En principi, la fórmula descriu els valors que les magnituds prenen en un sistema de referència en repòs, però s’estén també als valors de la massa i energia relativistes, per a un sistema en moviment. Einstein afirmà clarament que les lleis de conservació de l’energia i de conservació de la massa eren “una i la mateixa". [3]

Tot i això, alguns consideren que aquesta fórmula està sobrevalorada, ja que no té gaire utilitat real per a dissenyar la manera de realitzar, a la pràctica, els processos de fissió nuclear. Sigui com sigui, és ben cert que la fórmula d’Einstein va jugar un paper molt important a l’hora d’interpretar que la fissió s'havia dut a terme, per primer cop, en el laboratori. En tenim un testimoni molt valuós, en paraules dels primers que van entendre que, en total acord amb la fòrmula d'Einstein, la fissió de l'àtom d'urani havia tingut lloc, en un experiment realitzat per Otto Hahn, en que obtenia bari a partir d'urani i que ell mateix no conseguia interpretar de cap manera.

A les vacances de Nadal del 1938, Lise Meitner, que aleshores vivía a Estocolm, va rebre la visita del seu nebot Otto Frisch. L'havia convidat a passar amb ella les vacances a la petita ciutat de Kungälv, rodejada de boscos, a la regió de Gotalândia. Un dia sortiren a caminar enmig de la neu i, mentre parlaven de manera distesa, van aconseguir entendre del tot el significat dels misteriosos resultats experimentals del seu col·lega Otto Hahn, introduint la idea de la que van batejar com a fissió atòmica (i que van publicar a la revista Nature pocs mesos després). Per fer-ho, van emprar directament l’equació d’Einstein per tal de quantificar l’energia d’una reacció que hauria de ser capaç de vèncer forces com la tensió superficial, que mantenen el nucli unit, per permetre que els fragments de fissió se separessin una mica, donant lloc a una configuració a partir de la qual les seves càrregues podrien forçar-los ja (per repulsió electroestàtica) a una fissió total energèticament favorable. Això explicava perfectament els resultats de Hahn, que havia obtès bari a partir d'urani, al bombardejar aquest darrer amb neutrons. Utilitzant la fracció d’empaquetament, o valor d’energia d’unió nuclear per nucleó, juntament amb la fórmula E = mc², van adonar-se, tot de sobte, que el procés bàsic de fissió “era de fet energèticament possible”. Tal com Frisch ho va descriure: [4]

"Podia haver-hi un error en els resultats de Hahn? Improbable, doncs es tractava d'un químic magnífic. Però fins llavors ningú no havia pogut estreure res més que protons o, com a molt, nuclis d'heli, en bombardejar els d'urani... Com podria ser que el nucli s'hagués partit pel mig en dos? Tot-hom ho tenia per impossible, pero la Lise ja havia manifestat que en física nuclear no hi havia res que ho fos... Vàrem caminar amunt i avall per la neu, jo amb esquís i la Lise a peu... i a poc a poc la idea va anar prenent forma... basada en la concepció que tenia Bohr del nucli com una gota líquida; la gota podria estirar-se i dividir-se... Sabíem que hi havia forces molt fortes que s’hi oposarien, com la tensió superficial. Però els nuclis són diferents de les gotes normals: estan carregats positivament... En aquest punt, ens vam asseure al tronc d’un arbre caigut i vam començar a calcular sobre trossos de paper... el nucli d’urani podria esdevenir una gota molt inestable, a punt per dividir-se... Però... quan les dues gotes es formessin, se separarien per repulsió elèctrica l’equivalent (en energia) d’uns 200 MeV, en total. Per sort, la Lise va recordar de memòria com es calculaven les masses dels nuclis... i va descobrir que els dos nuclis formats serien més lleugers que el d'urani, en aproximadament una cinquena part de la massa d’un protó. Ara bé, cada vegada que la massa desapareix, es crea energia, d’acord amb la fórmula d’Einstein E = mc², i... la pèrdua de massa resultava en aquest cas equivalent a 200 MeV! Tot encaixava!"

La fissió del nucli atòmic podia, doncs, tenir lloc! A la tornada de les vacances, a Copenague, Frisch ho va explicar a Niels Bohr, i aquest no va tardar a comentar-ho als seus col·legues americans, que d'acord amb les autoritats polítiques decidíren posar en marxa el projecte Manhattan. Einstein, quan es va assebentar que la fissió, d'acord amb la seva fòrmula, havia dut a tan terribles conseqüències exclamà: Ai de mi! (i ho va dir en yiddish, "Vey iz mir", des del fons de la seva ànima; vegeu al meu blog Contextos històric i científic entorn de la visita d’Einstein a Catalunya).

La teoria general de la relativitat

Respecte de l’especial, conté només un nou postulat, que rep el nom de principi d’equivalència. Einstein el va formular un dia en què va tenir la que més tard qualificaria de “la idea més feliç de tota la meva vida” (altres autors situen aquesta famosa frase en el moment en què va trobar la fórmula de la qual acabem de parlar).

Fou el mateix Einstein qui va explicar (encara que, pel que sembla, no n’ha quedat malauradament constància escrita) que la idea se li va acudir l’any 1907, mentre treballava a l’Oficina de Patents, a Berna. Estava assegut a la seva cadira habitual, davant de l’escriptori, quan de sobte es va sobresaltar molt en venir-li al cap un pensament sobre què li passaria si, en aquell mateix instant, estigués caient dret des de la teulada de casa seva. Va seguir raonant a càmera lenta... En aquell moment, mentre caigués, no existiria per a ell com a observador cap camp gravitatori, almenys en el seu entorn. En efecte, si tingués un objecte a la mà, com ara una poma, i la deixés anar, la poma no cauria pas als seus peus, seguiria sempre al costat de la seva mà sense separar-se’n: no experimentaria, doncs, cap gravetat. Si no pogués veure res del seu entorn, excepte la poma, podria concloure, raonablement, que es trobava en un lloc on no hi havia gravetat. Més tard s’ha utilitzat comunament l’exemple d’un ascensor en caiguda lliure amb una persona al seu interior, com a alternatiu per il·lustrar la mateixa idea (en aquest cas són les parets de l’ascensor les que aïllen l’experimentador de la resta del món).

Expressada d’altra manera, la conclusió és que la força de la gravetat no té res d’especial: és com qualsevol altra força mecànica que posa en moviment accelerat un objecte. I encara una altra versió alternativa del mateix principi és la de considerar que la massa d’un cos que intervé en la fórmula de Newton de l’atracció gravitatòria universal (la massa gravitatòria, m_g) és exactament la mateixa massa que la que apareix a la fórmula F = m_ia (anomenada massa inercial, m_i), la que és inversament proporcional a l’acceleració que adquireix el cos quan se li aplica una força mecànica. En resum, m_g = m_i. Totes aquestes formulacions del principi d’equivalència són igualment vàlides.

Aquella pensada d’Einstein (un dels seus tan famosos gedanken experiments) fou realment molt feliç, ja que el dugué a construir tota una nova teoria de la gravitació, que anomenà teoria general de la relativitat, que ha anat moltíssim més lluny que la gravitació universal newtoniana. En aquesta, com ja era el cas per a la relativitat especial, l’espai i el temps estan units en un “teixit” continu d’espaitemps; però, com a gran novetat, la presència de matèria es tradueix ara en una curvatura local d’aquest teixit, de manera semblant al que succeeix quan un nen es disposa a saltar en un llit elàstic a les fires, fent així que el teixit, originalment pla, s’enfonsi amb el seu pes. És la curvatura de l’espaitemps la que dona lloc a l’efecte que anomenem gravetat.

En termes més tècnics, el principi d’equivalència d’Einstein per a un camp gravitatori uniforme estableix que el moviment d’un objecte en un marc de referència inercial no es pot distingir del moviment de l’objecte en absència d’aquest camp però respecte a un sistema de referència uniformement accelerat de manera adequada. En les seves pròpies paraules (Einstein, 1907) [5]:

“Assumim l’equivalència física completa d’un camp gravitatori i d’una acceleració corresponent del sistema de referència”.

Seguint amb el “pensament més feliç de la seva vida”, Einstein es va referir també a dos sistemes de referència, K i K’. K té un camp gravitatori uniforme, mentre que K’ no té camp gravitatori, però se l’accelera uniformement de manera que els objectes dels dos sistemes experimentin forces idèntiques (Fig. 4). Altre cop en les seves paraules (Einstein, 1911) [6]:

"Arribem a una interpretació molt satisfactòria d’aquesta llei de l’experiència, si suposem que els sistemes K i K’ són, físicament, del tot equivalents; és a dir, si admetem que també podem considerar el sistema K com un espai lliure de camps gravitatoris, però alhora com un sistema uniformement accelerat. Aquesta suposició d’equivalència física exacta ens fa impossible parlar de l’acceleració absoluta del sistema de referència, de la mateixa manera que la teoria de la relativitat especial ens prohibeix parlar de la velocitat absoluta d’un sistema. I això fa que la caiguda igual de tots els cossos en un camp gravitatori sembli aleshores una cosa natural."

Fig. 4 A l’esquerra, una bola cau a terra en un coet accelerat convenientment, en absència de gravetat. A la dreta la bola cau a terra de manera habitual. L’efecte és idèntic en ambdues situacions, del tot indistingible en la cambra que aïlla l’observador del món exterior - Imatge: CC BY-SA 3.0

No ens enganyem, però, amb l’aparent simplicitat de tots aquests conceptes. Aquí estem parlant només dels principis fonamentals de la teoria general de la relativitat, però és necessari esmentar que a Einstein li va costar deu anys de la seva vida, treballant sense descans, arribar a les equacions de camp finals a partir d’aquests principis. Això donaria per a un altre article, ben llarg i molt més complex. Ens limitarem aquí a referir un passatge on el gran geni comenta un aspecte bàsic d’aquest punt, que fa referència a la matemàtica. En una carta a Arnold Sommerfeld, de l‘any 1912 (això és, uns 60 anys després del famós treball d‘habilitació de Bernhard Riemann), Einstein li comenta els esforços que està fent per aprendre geometria riemanniana. Diu, textualment,

"Aber eines ist sicher, dass ich mich im Leben noch nicht annähend so geplagt habe und dass ich große Hochachtung vor der Mathematik eingeflößt bekommen habe, die ich bis jetzt in ihren subtileren Teilen in meiner Einfalt für puren Luxus gehalten habe!"

Que traduït ve a ser:

"Però una cosa és segura, que mai en tota la meva vida no m‘havia afanyat ni de bon tros com ara, i que mai no havia tingut tan alta consideració per la matemàtica, la qual tenia fins fa poc, en la meva ingenuïtat, pel que fa a les seves parts més subtils, per un simple luxe!"

Aprofundint encara una mica més en el principi d’equivalència, actualment se’n consideren tres formes: la feble (o galileana), l’einsteiniana i la forta. El principi d’equivalència feble, també conegut com a universalitat de la caiguda lliure o principi d’equivalència galileà, es pot expressar de diverses maneres. En aquest la universalitat de la caiguda lliure queda restringida a cossos ordinaris (els únics que Galileu tenia al cap) que només estan lligats per forces no gravitatòries (per exemple, una pedra, un bocí de metall, un tros de fusta, etc.). Veiem, doncs, que Galileu també va ser pioner en la concepció d’un principi d’equivalència, que seria estès per Einstein en la seva teoria general de la relativitat.

Fig. 5 Albert Einstein l’any 1916, a la biblioteca de la casa de Paul Ehrenfest, a Leiden, on va fer estada uns dies - Imatge: Domini Públic.

La forma einsteiniana és la que ja hem vist més amunt, en boca del seu propi autor (Fig. 5). I el principi d’equivalència forta és una generalització dels dos, que inclou també objectes astronòmics, com ara els púlsars i els forats negres, els quals tenen una part molt important de l'energia que els manté units que és de tipus gravitatori. El principi d’equivalència forta es pot provar buscant una variació de la constant gravitatòria de Newton, G, o, equivalentment, una variació en les masses de les partícules fonamentals, al llarg de la vida de l’univers. Observacions de naturalesa independent, com ara mesures de precisió d’òrbites del sistema solar i estudis de la nucleosíntesi del big-bang han demostrat que G no pot haver variat més enllà d’un 10%. El principi d’equivalència forta es pot comprovar també buscant algun tipus de cinquena força, en termes de desviacions de la llei de gravetat predita per la relativitat general: buscant errors de la llei quadràtica inversa, en termes de forces de Yukawa o violacions del teorema de Birkhoff. I amb això hem assolit el sostre, més que raonable, del que es pot explicar en una introducció breu, com la present, a les teories de la relativitat.

Acabarem amb un resum telegràfic de tot el que s’ha exposat; però, abans, dues observacions molt pertinents.

Dues observacions importants

Primera. Els principis primer i tercer, això és, el de relativitat o covariància general i el d’equivalència, són els dos postulats bàsics de la teoria de la relativitat general (a part del segon, igualment clau, però ja heretat de la relativitat especial). S’ha discutit molt sobre la seva independència o no. La resposta no és tan senzilla. Els dos principis solen presentar-se sempre com a independents, i en realitat ho són del tot, en la seva formulació estricta. Però passa que, a la pràctica, estan de fet connectats per imprecisions que provenen de les aproximacions efectuades en formular les equacions de la relativitat general, que, per simplicitat, Einstein va reduir al segon ordre. Això té com a conseqüència que el principi d’equivalència és aproximat (en la seva realització a les equacions d’Einstein) i només val fins a termes de segon ordre. Les acceleracions són del tot indistingibles en qualsevol punt donat, però els diferencials d’aquestes i els gradients d’ordres superiors no són idèntics. I aquest petit error en l’equivalència introdueix problemes amb la covariància, cosa que fa que quedin truncats els termes superiors al segon ordre. En resum, la curvatura de l’espai està ben representada, però no les deformacions de l’espaitemps d’ordres més alts.

Va ser Einstein mateix el primer a reconèixer que la seva teoria final era aproximada i incompleta. Esperava que altres científics la milloressin aviat, cosa que no ha passat, ni encara ara, malgrat que molts ho han intentat. La relativitat general funciona molt bé fins a valors de l’energia realment elevats: ho ha fet recentment de manera molt precisa en la descripció de col·lisions de forats negres de trenta masses solars i més. Però si l’energia cinètica fos encara molt més gran, prou elevada per plegar l’espaitemps en capes, llavors els problemes apareixerien ja d’una manera clara. Un candidat actual, entre d’altres, per millorar la teoria a molt més altes energies és la geometrodinàmica topològica (TGD), que involucra matemàtiques de gran complexitat.

Fig. 6 Ernst Mach, físic i filòsof austríac (1838–1916) - Imatge: Domini públic.

Segona. L’intent d’Einstein de materialitzar d’alguna manera les idees d’Ernst Mach, en la seva construcció de la relativitat general va ser, sens dubte, un estímul molt important per a la creació de la seva teoria, encara que no aparegui enlloc com un dels principis fonamentals d'aquesta (Fig. 6). Està estretament relacionat amb el principi de covariància o de relativitat, encara que en realitat va molt més enllà. De fet, el mateix nom que va donar a la seva teoria deriva de la convicció d’Einstein que era una teoria que feia per fi justícia a la crítica que va fer Mach de la noció d’espai absolut de Newton. Segons Mach, l’espai no podia ser tal, sinó ben al contrari, havia de ser relativista o covariant respecte a les transformacions més generals possibles de les coordenades espaitemps.

El principi de Mach, o de relativitat total, va més enllà del principi d’equivalència i es pot entendre alhora com un principi de simetria. A les equacions primàries hauríem de posar-hi tots els moviments possibles en condicions d’igualtat, i no només els relacionats per una velocitat o una acceleració constants. Qualsevol elecció de les coordenades hauria d’estar en condicions d’igualtat, ja que les coordenades s’haurien de sotmetre a variacions del tot arbitràries. Però en relativitat general, l’espaitemps no està exempt d’estructura, i no és cert que tots els sistemes de coordenades siguin igualment bons, malgrat les alegres declaracions en sentit contrari que sovint es troben a la literatura. Consti que això són afirmacions del premi Nobel Frank Wilczek, de qui he manllevat algunes d’aquestes sentències. La relativitat general sempre inclou un camp mètric, que ens diu com assignar mesures numèriques a intervals de temps i espai. I resulta convenient triar esquemes en què el camp mètric prengui la forma més simple possible. Però hauríem de poder situar-nos més enllà, abans i tot de triar aquest camp.

Plantejat el problema així és quan s’assembla molt al concepte de trencament de simetria, tan crucial en la formulació moderna de la física teòrica. Recordem, per exemple, que al model estàndard electrofeble apareix un camp de Higgs que trenca la simetria de les equacions primàries i confereix la massa a les partícules elementals; per altra banda, a la cromodinàmica quàntica apareix un condensat quark-antiquark que trenca també la simetria; i als esquemes de gran unificació s’utilitzen diverses generalitzacions de la mateixa idea. La perspectiva de la simetria contemplaria la possibilitat de teories primàries gaudint de simetries més grans que les que es realitzen en el principi d’equivalència de la relativitat general. En aquest context, el principi de Mach seria la hipòtesi que la teoria primària més general hauria d’incloure el principi de relativitat total, és a dir, l’equivalència física entre tots els sistemes de coordenades possibles. Hem volat massa lluny: ningú no ha aconseguit encara avançar substancialment, d’una manera pràctica, per aquest camí (Wilczek, 2004) [7].

Resum

Fig. 7 Albert Einstein donant l'onzena lliçó Josiah Willard Gibbs en la reunió de l’American Association for the Advancement of Science del 28 de desembre de 1934

Resumint, els tres principis fonamentals de la teoria general de la relativitat són els següents (Fig. 7):

1. El principi de relativitat o de covariància general.
   
   • Galileu: té sentit formular lleis de la física (sistemes inercials).
   • Lleis per sistemes inercials o accelerats. Forma eqs canvia (transf. Lorentz i Poincaré)
   • No relativitat total (principi de Mach). Truncat a eqs de segon ordre.
2. La velocitat de la llum en el buit és constant, c, en tot sistema inercial.
   
   • Junt amb principi relativ de Galileu (sist. inerc.) à Teoria especial de la relativitat
3. El principi d’equivalència
   
   • Gravetat és com altres forces. Equiv de massa inert i massa gravit: m_i = m_g
   • L’espaitemps és una varietat, localment minkowskiana.

Es completen amb dues condicions més, de caràcter tècnic i que fan referència a les equacions de camp de la teoria.

4. Hipòtesi de torsió zero (∇_XY−∇_YX=[X,Y])
   
   • Els símbols Christoffel són simètrics. Es pot relaxar (Einstein-Cartan o string theory.)
5. Reducció a les lleis de Newton (a velocitats petites comparades amb c)
   
   • Per tal de definir les constants universals

I dues observacions molt importants:

• Són independents els principis 1r i 3r?
  • La resposta és tricky: sí i no.
  • Ho són en la seva presentació.
  • Però les aproximacions fetes en la formulació matemàtica de la TGR (tallar a 2n ordre) fan que el principi d’equivalència sigui també aproximat.
  • Les diferencials i gradients d’ordre superior difereixen.
  • Això es nota a energies molt elevades.
• La teoria d’Einstein no és la definitiva (AE dixit).
  • El principi de Mach de la relativitat total no està ben incorporat.
  • Einstein fou el primer a reconèixer que la seva teoria era aproximada i incompleta i estava convençut que algú la perfeccionaria aviat.
  • Això s’intenta fer ara, un segle més tard: teories S-T, f(R), QG?
  • El paradigma de ruptura de simetria podria ser útil.

BIBLIOGRAFIA:

1. J.-M. Lévy-Leblond, "Galilei group and Galilean invariance", Group Theory and its Applications, 221-299 (1971); "Galilei group and nonrelativistic quantum mechanics", Journal of mathematical Physics 4, 776-788 (1963).

2. A. Einstein, "Zur Elektrodynamik bewegter Körper", Annalen der Physik 322, 891–921 (1905).

3. A. Einstein, "Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?", Annalen der Physik 323, 639–641 (1905).

4. R.L. Sime, Lise Meitner: a life in physics (University of California Press, Berkeley, 1996), p. 236–237. ISBN 978-0-520-91899-3.

5. A. Einstein, "Über die vom Relativitätsprinzip geforderte Trägheit der Energie", Annalen der Physik 328, 371–384 (1907).

6. A. Einstein, "Über den Einfluß der Schwerkraft auf die Ausbreitung des Lichtes", Annalen der Physik 35, 679-94 (1911).

7. F. Wilczek, "Total Relativity: Mach 2004", Physics Today 57, 4, 10 (2004).