Moments “Eureka” espectaculars en la història de la Física (II)

En aquesta segona part, parlarem de Ludwig Boltzmann, creador d’una teoria fantàstica, tan avançada a la seva època, que cap dels seus eminents col·legues l’aconseguia entendre, i tots en feien burla acarnissadament. Situació que finalment el va portar a treure’s la vida. Tractarem de Max Planck qui, en un tràngol de desesperació absoluta, va haver de fer servir a contracor els mètodes de Boltzmann ―que fins aleshores ¡havia combatut amb sanya!― i això el va encaminar a descobrir tot un nou món: l’univers quàntic. I acabarem amb Albert Einstein qui, quan tenia només setze anys, i era encara estudiant a l'institut d'Aarau (Suïssa), un dia es va imaginar que estava perseguint un raig de llum en la immensitat de l’espai i que, després d’atrapar-lo, hi cavalcava a sobre. Les conseqüències que en va treure van ser enlluernadores.

Ludwig Boltzmann: el seu no-moment Eureka i una fórmula realment excepcional (constant universal inclosa)

Tota regla té sempre la seva excepció. En el tema que estem tractant, hi ha hagut de fet alguns descobriments extraordinaris que no van tenir el seu corresponent ‘moment Eureka’. És més, algunes grans descobertes van comportar, fins i tot, terribles maldecaps als seus autors, fruit de la incomprensió persistent dels seus col·legues, que sovint es vàren riure de teories tan revolucionàries que ells no aconseguien entendre. Son força coneguts el cassos de Georg Cantor, amb la seva admirable teoria dels infinits, i el de Ludwig Boltzmann, en el seu intent de resoldre una qüestió cabdal: ¿com sorgeixen les lleis de la termodinàmica (de Clàusius) a partir del comportament dels àtoms?

La revolucionària idea de Boltzmann va ser establir, de manera concreta, cóm a partir del moviment dels àtoms i de les seves interaccions mútues s’obtenen les propietats macroscòpiques de la matèria (com ara la pressió, viscositat, conductivitat tèrmica, etc.). El seu treball era una aproximació radicalment nova al tractament de grans conjunts de partícules. Durant bastants anys, aquest enfoc tan trencador fou sistemàticament rebutjat pels seus contemporanis, alguns d’ells molt eminents, per cert, que consideraven que les lleis fonamentals de la natura, com el segon principi de la termodinàmica, no podien pas tenir una interpretació estadística, que tirava pel terra el seu caràcter determinista [S.G. Brush, The kind of motion we call heat (North Holland, Amsterdam and New York, 1976)].

Entre els detractors de Boltzmann hi havia col·legues seus molt prestigiosos, com Wilhelm Ostwald, Ernst Mach i el mateix Max Planck. Concloïen, tots ells, que la seva aproximació (fonamentar la termodinàmica en la mecànica) no tenia ni cap ni peus. Boltzmann els replicava que, contràriament, aquest era de fet el camí a seguir, ja que demostrava amb claredat que la segona llei de la termodinàmica, la de l'entropia, no era més que una llei estadística i que, per tant, admetia fluctuacions que s'apartaven de la mitjana i donaven lloc a comportaments diferents dels previstos per una llei determinista. I això si que era comprovable i el que ¡s'ajustava a la realitat! L'únic motiu pel qual no s'havia observat mai una violació de la segona llei de la termodinàmica a nivell macroscòpic era el fet de ser extremadament improbable que els trilions i trilions de partícules que constitueixen un sistema macroscòpic col·laboressin tots alhora, en un mateix sentit. Avui dia, qualsevol físic/a veu això més clar que l’aigua, però no era pas així, fa 130 anys.

L’any 1891, en una conferència celebrada a Halle, en replicar un intent d'Ostwald i Planck per convèncer-lo de la superioritat dels mètodes purament termodinàmics sobre els atomistes, Boltzmann arribà fins al punt d’afirmar textualment: “No veig cap raó per la qual s’hagi d’excloure la possibilitat que l'energia pugui ser considerada també com a dividida.” És, de ben segur, el més a prop que va estar mai d'un impressionant moment Eureka, ja que amb aquesta importantíssima reflexió anticipava amb clarividència la idea genial que va donar origen a la física quàntica: els sistemes intercanvien energia de manera discreta, i no pas contínua.

Fig.1.  Tomba de Boltzmann, al Cementiri Central de Viena. Wikimedia Commons. Domini públic.

No va ser fins nou anys després, el 1900, que, en un “acte de desesperació total” contrari a la seva pròpia lògica ―que fins aleshores havia defensat aferrissadament― Planck es va veure forçat a utilitzar els mètodes estadístics de Boltzmann per tal de resoldre el problema de l'espectre del cos negre, en el què va ser el treball fundacional de la mecànica quàntica. De sobte, Planck va convertir-se en un dels defensors més ferms dels mètodes de Boltzmann. I fou Planck mateix qui, de fet, va escriure en la forma com se la coneix actualment, la relació de proporcionalitat tossudament defensada per Boltzmann entre l'entropia, S, d'un sistema i el nombre de formes d'ordenació possibles (microestats), W, dels seus àtoms [L.J. Boya, The Thermal Radiation Formula of Planck (1900), Rev. Real Academia de Ciencias de Zaragoza 58, 91–114, (2003)].

La constant de proporcionalitat, k, que Planck va introduir en escriure la fórmula, no va dubtar ni un instant a anomenar-la “constant de Boltzmann” (Fig. 1). Boltzmann havia donat ple sentit al segon principi de la termodinàmica des d'una perspectiva estadística, construint un pont importantíssim entre el món quàntic i el macroscòpic. I la constant k va passar a situar-se, juntament amb la de Newton, com una de les constants fonamentals de la naturalesa.

Boltzmann es va treure la vida el 1906. Es va penjar, mentre era de vacances a Duino, a prop de Trieste; possiblement influït pel pertinaç rebuig que havien tingut les seves idees, tan avançades a la seva època, per part de la comunitat científica. Un cop va escriure: "La filosofia em posa dels nervis. Si analitzem el fonament últim de tot, llavors tot condueix finalment al no-res." I havia dit també: “L’elegància l’hem de deixar per als sabaters i els sastres.” A la làpida que hi ha a la seva tomba, al cementiri de Viena, hi ha gravada la seva tan famosa fórmula.

Ben poc després de la seva mort, el mateix any 1906, Einstein publicà el seu celebrat article sobre el moviment brownià, en el què va fer servir mètodes de la mecànica estadística de Boltzmann, contribuint d’aquesta manera decisivament a l'acceptació dels àtoms com a entitats amb existència real i en els que s’havia de fonamentar a partir d’aleshores la nova física.

Toca esmentar encara un parell de punts molt importants. En la transcendental redefinició de les unitats del Sistem Internacional, que va tenir lloc l’any 2019, la constant de Boltzmann es convertí en una de les “set constants universals definitòries” de la Física, i que constitueixen els pilars fonamentals de la mateixa. I és també obligat afegir, ja per acabar que, uns anys més tard, Claude Shannon va traslladar mutatis mutandis, la fórmula i mètodes de Boltzmann a la seva importantíssima teoria de la informació, que te una influència extraordinària en l'actualitat. Les similituts són aclaparadores, tot i que en aquest darrer cas hi manca la constant física k. La quantització, en la teoria de la informació hi és ja intrínseca, ab initio, perque es parteix sempre d'una informació mínima possible, el bit (amb possibles valors 0 o 1, que en els corresponents circuits es refereixen a un interruptor obert o tancat, respectivament). I des d'allí els mètodes de Boltzmann van saltat després a les teories de cordes, a la informació quàntica, a la formulació termodinàmica de l'estructura dels forats negres (Beckenstein-Hawking), i a molts altres dominis, fins arribar a la intel·ligència  artificial. Tot això ha situat, finalment, les genials idees de Boltzmann al mateix centre de la discussió científica actual, entre les idees més fructíferes de la física fonamental del nostre temps.

Planck en un “moment d’absoluta desesperació”: el món quàntic

El desembre de 1900, Planck estava treballant en un problema molt fonamental i que portava de cap tots els físics: la radiació del cos negre. La física clàssica no podia explicar de manera correcta en tot el rang de freqüències, la manera en que els cossos emeten radiació tèrmica. Hi havia una fórmula empírica (la de Wien) que funcionava molt bé a freqüències elevades, però que es desviava clarament del comportament experimental a l'infraroig; i una altra (la de Rayleigh-Jeans) que s'ajustava extraordinàriament bé en aquest rang de baixes freqüències, però que fallava estrepitosament a l'ultraviolat, cosa que era coneguda com la famosa "catàstrofe de l'ultraviolat" (Fig. 2).

Cercant una solució d’aquest intrigant problema, Planck es va veure obligat a recórrer, a contracor, al que en principi (i durant força temps encara) va considerar com un mer “truc matemàtic”. Per tal d'ajustar la part correcta de les dues corbes, efectuant una suau interpolació entre aquestes dues parts, va substituir una integral sobre les energies d’emissió possibles per una sèrie geomètrica discreta. Des del punt de vista de la física que hi havia darrere la fórmula, això equivalia a haver d'assumir la proposta radical que els oscil·ladors del camp electromagnètic poguessin tenir tan sols energies discretes, múltiples d’una energia mínima. L'energia de radiació emesa pels oscil·ladors havia doncs d'estar quantitzada; no podia ser emesa de manera contínua, sinó en petits paquets discrets, o quants: E = h f_E.

L'energia dels oscil·ladors seria doncs proporcional a la freqüència de la radiació i múltiple sempre d'un mínim valor possible, h, un valor constant fonamental (que avui coneixem com la constant de Planck). Aquell fou, com el propi Planck va reconèixer immediatament, un moment Eureka excepcional, realment històric (Fig. 3). Obrí certament la porta d’entrada a un nou món: el món quàntic.

Fig. 3. (a) Placa a la Universitat Humboldt de Berlín on hi diu: «En aquest edifici va ensenyar MAX PLANCK, el descobridor del quant d'acció h, des del 1889 fins al 1928». (b) Planck en un segell de correus alemany de 1952. Domini públic.

El dia 14 de desembre de l'any 1900, Planck presentà la seva solució de l'importantíssim problema, a la Societat Física de Berlín, deixant bocabadats tots els seus col·legues [M. Planck, Über eine Verbesserung der Wienschen Spektralgleichung, Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft 2, 202–204 (1900)]. Aquella mateixa nit, en arribar a casa, va anar a cercar des seguit el seu fill Erwin per dir-li: “Crec que avui he fet un descobriment tan important com el de Newton.” Convé dir aquí, que Planck no era una persona donada a exageracions de cap mena; però, en poder reconciliar de manera tan precisa i elegant tots dos comportaments, en un problema tan bàsic i fonamental com és l'espectre d'emissió d'un cos negre, estava del tot convençut que havia trobat quelcom molt profund. Tot i que no era capaç de comprendre encara el significat físic de la seva troballa i ni de lluny podia imaginar-se que havia encès una espurna que canviaria la física radicalment i per sempre.

Com ja s’ha explicat abans, Planck no era quàntic per convicció, sinó tot el contrari. Havia combatut Boltzmann de manera ferotge durant molts anys i la seva obcecació ¡li impedia encara ara acceptar les implicacions físiques de la seva pròpia formulació de la solució al problema!

Segons confessà sempre, Planck va construir la seva fórmula “a contracor” en un “acte d’absoluta desesperació”, i tan sols com una mera interpolació matemàtica. No li va atribuir cap significat físic real: no creia que l'energia estigués de fet quantitzada. De fet, fou Einstein el primer a afirmar, ja el 1905, que aquell procediment reflectia fidelment la realitat física i que era un fet ben cert que: "L'energia s'emet en quants. I la llum també." En aquell mateix moment, Boltzmann va ser, al seu torn, completament reivindicat.

Albert Einstein cavalcant a sobre d’un raig de llum

Fig. 4. Albert Einstein, un prodigi de 16 anys. Aarau, 1895. Autor: Gottfried Wolfsgruber. Domini públic.

Quan tenia setze anys (Fig. 4), Einstein es va imaginar a ell mateix perseguint un raig de llum a l’immens buit de l'espai. Durant diversos anys, va anar tornant sobre aquella visió, preguntant-se cada cop què passaria exactament si aconseguís assolir, de fet, la velocitat de la llum (Fig. 5):

Una paradoxa que vaig descobrir als setze anys fa així: si segueixo un raig de llum anant a la seva mateixa velocitat, c, hauria de veure aquest raig com un camp electromagnètic en repòs, encara que oscil·lant espacialment. El problema és que no sembla que aquest concepte existeixi de fet. En aquella paradoxa ja hi havia el germen de la teoria de la relativitat especial. Avui sabem que qualsevol intent d'aclarir la paradoxa de manera satisfactòria hauria estat condemnat al fracàs, en tant que axiomes com el caràcter absolut del temps, o el de la simultaneïtat, romanguessin arrelats al nostre subconscient. Reconèixer amb claredat que estàvem sempre fent us d’aquests axiomes, i el seu caràcter arbitrari, implicà ja que teníem allò d’essencial per a la resolució del problema. A poc a poc, vaig anar perdent l'esperança de descobrir les veritables lleis mitjançant esforços constructius basats en ‘fets ben coneguts’. Com més ho intentava, més em convencia que tan sols el descobriment d'un principi formal universal podria conduir a resultats segurs.”

Fig. 5. L‘experiment mental d‘Einstein als setze anys, quan era estudiant. Autor: Prokaryotic Caspase Homolog. CC BY-SA 4.0

Bé es pot afirmar que per a Einstein aquell va ser un moment Eureka memorable i trencador. Com ell mateix reconegué, la paradoxa referida el va conduir a abandonar a partir de llavors el caràcter absolut del temps i de l'espai (aquests eren, en el cas en qüestió, els 'fets ben coneguts' amb que va trencar, i als què es refereix en aquesta cita). I això el va dur de la mà fins a la formulació de la seva teoria especial de la relativitat, el 1905. Va ser també un altre dels seus fantàstics experiments imaginats ―als que Einstein es referia com a Gedankenexperimente— el que el va portar més tard fins a la formulació de la seva teoria general de la relativitat (el seu segon moment Eureka, que veurem en un altre lloc). I experiments d'aquesta mateixa mena continuen encara ara nodrint l'essència de la física actual, especialment pel que fa al camp de la mecànica quàntica.

Posant fil a l'agulla, després d'haver establert la manera de procedir, Einstein va formular la relativitat especial com una teoria basada en dos postulats sorprenentment simples:

1. Les lleis de la física adopten la mateixa forma en tots els sistemes inercials.
2. En qualsevol sistema inercial en el buit, la velocitat de la llum, c, és la mateixa, amb independència de si la llum és emesa per un cos en repòs o per un cos en moviment uniforme.

El primer postulat no és res més que el principi de covariància de Galileu. Expressat d’altra manera, afirma l'existència de lleis universals de la física. El segon postulat és de naturalesa empírica, fruit d'observacions experimentals precises que n'afirmen la seva validesa.

Un èxit extraordinari d'Einstein fou la deducció que va fer, en un dels seus famosos articles del 1905: “Sobre l'electrodinàmica dels cossos en moviment”, de les transformacions de Lorentz a partir d'aquests dos postulats tan senzills [A. Einstein, Zur Elektrodynamik bewegter Körper, Annalen der Physik 322, 891–921 (1905)]. Les fórmules de Lorentz i de Poincaré ja eren emprades per la comunitat científica des de feia uns quants anys. El que Einstein va demostrar brillantment és que aquestes expressions no eren merament fenomenològiques, sinó que eren conseqüència de la formulació matemàtica precisa d’un fet fonamental i revolucionari: la constància de la velocitat de la llum implicava que ¡el temps i l'espai havien de ser necessàriament relatius! Vet aquí l'essència més pura de la teoria especial de la relativitat, deduïda a partir de dos principis universals increïblement simples. Amb ells va donar forma explícita al seu convenciment tan profund, expressat amb paraules cap al final de la seva cita de més amunt.

La demostració la dugué a terme de manera força immediata, com segueix. L'objectiu era trobar la relació explícita entre les coordenades (x,y,z,t) corresponents a un sistema inercial, S, i les coordenades (x′,y′,z′,t′) d′un altre sistema inercial, S′, que es mou a velocitat constant, v, respecte a S, de manera que es compleixin els dos postulats. El punt de partida és que les dues referències coincideixen a l'origen, quan t=t′=0, que el moviment relatiu té lloc en una direcció determinada (la qual podem prendre sempre, arbitràriament, com a eix x), i que les transformacions han de ser lineals (per homogeneïtat de l'espai i el temps). Einstein va considerar llavors la forma més general possible de la transformació lineal, que conté una constant, γ, que depèn de v/c i que es determina imposant que la velocitat de la llum sigui la mateixa en ambdós sistemes. És molt fàcil veure que això només és possible si γ adquireix la forma típica de les transformacions de Lorentz: γ = (1-v²/c²)^-1/2. Això garanteix la invariància de la velocitat de la llum i de les lleis de la física en tots els sistemes inercials. S'observa de seguida, que aquestes transformacions difereixen molt de les de Galileu, quan es consideren velocitats properes a la de la llum. Per contra, en el límit de velocitats petites (quan el terme v/c es pot suprimir) l'acord amb la relativitat galileana és absolut.

Resumint, pel que fa als postulats, en la seva teoria especial de la relativitat, Einstein només va afegir, al principi de relativitat de Galileu, un segon axioma, que estableix que la velocitat de la llum al buit és la mateixa per a qualsevol sistema de referència inercial [E. Elizalde, The Conversation, 9 enero 2024. https://theconversation.com/la-esencia-de-la-teoria-de-la-relatividad-de-einstein-219656]. Les conseqüències que es deriven d'aquests dos postulats, d’aparença tan senzilla, són extraordinàries i molt difícils de pair pels que ens movem sempre a velocitats insignificants, comparades amb la de la llum. Sorgeixen fenòmens del tot inversemblants, com el fet que la simultaneïtat de dos successos és relativa (al sistema de referència), tenen lloc dilatacions en el temps, contraccions de la longitud, apareix una contribució relativista a l’efecte Doppler, i molts altres fenòmens difícils de comprendre dins la lògica habitual.

Tots ells són conseqüència immediata dels dos postulats, i reflecteixen el fet que tant el temps com l'espai han perdut el seu caràcter absolut, passant a dependre del sistema de referència en què hom se situï. És això el que hi ha d’afegit sobre la relativitat de Galileu. És cert que aquests fenòmens es manifesten clarament tan sols quan la velocitat a què viatja un sistema respecte a l'altre és propera a la de la llum, però cal observar que aquesta condició ja es dóna avui dia en múltiples experiments de laboratori, duts a terme amb partícules elementals o molt petites, en fotònica, i a nivells quotidians ben diversos (pensem, sense anar més lluny, en els omnipresents senyals GPS, que fem servir a totes hores).