Moments “Eureka” espectaculars en la història de la física (I)

En aquest article, començarem parlant del primer savi que va pronunciar la tan famosa paraula eureka, mentre corria nu pels carrers de Siracusa dirigint-se al palau del rei, ansiós com estava per donar-li la solució d’un important problema que aquest li havia plantejat. Parlarem tot seguit d’Eratòstenes i del seu càlcul de la circumferència de la Terra, que realitzà sense necessitat de sortir de la seva biblioteca, a Alexandria. Seguirem amb Salviati (alter ego de Galileu) navegant per l’Arno, el riu que creua la bella Florència, el dia en que va néixer la física moderna. I acabarem rememorant la grandíssima lliçó que el gran Isaac Newton va extreure del fet que una poma li caigués al cap, mentre descansava al seu jardí tot contemplant la sortida de la Lluna. S’ha de dir que alguns moments “eureka” són d’autenticitat més aviat dubtosa, però no per això deixaran mai de sorprendre’ns i d’emocionar-nos. 

El primer moment “Eureka” de la història

Fig. 1. Retrat d’un erudit (probablement Arquimedes), per Domenico Fetti - Imatge: Domini públic

Al segle III a.C., Heró II, rei de Siracusa, va demanar al savi Arquimedes (287-212 a.C.) que certifiqués si la preciosa corona que havia encarregat al seu orfebre (després de proporcionar-li l’or necessari per elaborar-la) era realment d’or pur. El pes de la corona coincidia de fet amb el de la quantitat d’or lliurada, però Heró tenia la sospita que l’orfebre podria haver substituït part del preciós metall per plata, menys valuosa (i de menor densitat, com tots sabem). Òbviament, la corona no podia patir cap mena de dany durant la prova. La llegenda diu que Arquimedes va intentar trobar la solució durant un cert temps, sense cap èxit.

Fins que un bon dia, mentre es banyava, es va adonar, de sobte, que l’aigua que desplaçava en submergir-se i que vessava per les vores de la banyera, corresponia exactament al volum del seu propi cos. Va saber immediatament que havia trobat la solució a l’encàrrec del rei. Diuen que exclamà tot entusiasmat: “Eureka!”, i sense temps per vestir-se, nu com estava, va sortir corrent pels carrers de Siracusa dirigint-se al palau, per anar a veure el rei i comunicar-li l’excel·lent notícia. Mentrestant, anava repetint sense parar la paraula màgica: “Eureka!”

Ja en presència del rei, omplí d’aigua una gerra fins al broc i hi va introduir la corona, mesurant curosament la quantitat d’aigua que desplaçava. Tot seguit, repetí el mateix procediment amb una massa d’or igual a la que el rei havia lliurat a l’orfebre. La quantitat d’aigua desplaçada per la corona va ser superior a la vessada per l’or pur, cosa que demostrà clarament que Heró havia estat estafat pel seu orfebre.

Aquest no és el lloc adient (ens allargaríem massa) per explicar la importància extraordinària del principi d’Arquimedes, ni dels seus nombrosos i universalment coneguts descobriments en física, matemàtiques i enginyeria, com la palanca, el cargol d’Arquimedes, principis de càlcul integral, i d’altres, que ben aviat foren emprats en moltes aplicacions, civils i, sobretot, militars.

És també molt conegut que la gran matemàtica Sophie Germain (que mereixeria tot un article, o més, ella sola) confessà sempre que si s’havia dedicat a les matemàtiques era perquè havia quedat entusiasmada amb una biografia d’Arquimedes. I, per acabar aquest reconeixement a aquest matemàtic i físic grec, que és considerat avui en dia un dels genis més eminents de tota l’antiguitat, us explicaré una anècdota perquè veieu que continua sent molt important i present, després de tants de segles. Mentre escric aquest article estic participant en una conferència sobre ultrametricitat a Belgrad. En una de les sessions s’ha discutit la no-arquimedianitat de la física fonamental com a conseqüència del fet que existeix la longitud de Planck. Al·lucinant!

Eratòstenes i la determinació de la circumferència de la Terra

A Eratòstenes (276-194 aC) se li sol assignar el títol de pare de la geodèsia. Meridià, paral·lel, longitud i latitud són conceptes que ell va introduir per primer cop. També va dibuixar el primer mapamundi i calculà amb bona precisió la inclinació de l’eix de la Terra. Fou contemporani d’Arquimedes (va néixer abans i va morir després d’aquest) i se sap que tots dos foren amics. Entre els matemàtics, és molt conegut pel seu famós sedàs dels nombres primers.

El 236 aC, Ptolemeu III el va posar a càrrec de la famosíssima Biblioteca d’Alexandria, posició que va ocupar fins a la fi dels seus dies [E.T. Bell, Men of Mathematics (Simon and Schuster, 1937)]. No es pot afirmar que tingués un moment “eureka” genuí, però el seu increïble càlcul de la mesura de la circumferència de la Terra, que dugué a terme sense necessitat de sortir d’aquella tan prestigiosa biblioteca, l’avala per formar part de la nostra llista.

El seu moment més feliç (el més proper a un eureka autèntic) fou, sens dubte, aquell en què trobà un papir on es detallava que, a Siene (actual Assuan), al migdia del solstici d’estiu, els raigs solars no projectaven cap ombra dins d’un pou molt profund que hi havia en aquella ciutat, situada al sud d’Alexandria. En aquell instant, doncs, el Sol es trobava just al seu zenit. Va haver d’esperar-se uns mesos, fins que arribà el dia del solstici d’estiu de l’any següent i, al migdia, Eratòstenes va mesurar, a Alexandria, l’angle projectat per l’ombra d’un pal vertical. Observà que aquest angle era de 7,2°, el que representa 1/50 part de la circumferència completa.

Tot seguit, va fer tres suposicions, que li semblaren prou adients: (a) que la Terra era esfèrica (com veia que ho eren el Sol i la Lluna); (b) que Siena es trobava exactament al sud d’Alexandria, sobre el mateix meridià (aquí va cometre un lleuger error, ja que la diferència entre les seves longituds és de 3^o). A més, com que el Sol és molt lluny, (c) va donar per fet que els seus raigs incidien paral·lelament sobre les dues ciutats. I així va poder concloure, finalment, que per trobar el valor de la circumferència de la Terra, en tenia prou amb conèixer la distància que hi havia entre una ciutat i l’altra (Fig. 2).

Fig. 2. Eratòstenes - Imatge: Domini públic.

Diuen que, amb aquesta finalitat, va pagar de la seva butxaca uns quants bematistes egipcis —que feien la ruta del sud acompanyant les caravanes— perquè li mesuressin la dita distància amb precisió; i que, més tard, va calcular el valor mitjà dels resultats. Cal saber que els bematistes eren comptadors de passos professionals. Els més famosos foren els que acompanyaven els exèrcits d’Alexandre el Gran i feien mesuraments molt precisos de les distàncies recorregudes en les seves llargues campanyes per l’imperi. S’ha comprovat que van fer estimacions tan acurades que s’ha suggerit que van haver d’emprar necessàriament algun tipus d’hodòmetre (un pal amb una roda calibrada per mesurar distàncies en fer-la rodar, invent que s’atribueix al mateix Arquimedes), encara que no s’ha trobat mai cap esment directe que els bematistes empressin algun dispositiu d’aquesta mena.

Sigui com sigui, avui sabem també que el valor de la dita distància entre les dues ciutats esmentades ja figurava en altres papirs de la biblioteca: era de 5.000 estadis; per la qual cosa potser Eratòstenes només va voler assegurar-se que aquest valor era precís. Va concloure, llavors, que la circumferència terrestre mesurava 250.000 estadis.

Hi ha una controvèrsia, encara no resolta, sobre l’equivalència en metres de l’estadi que emprà Eratòstenes. Si va fer servir l’estadi àtic italià de 184,8 m (el que solien usar els grecs d’Alexandria), l’error comès fou d’un 15 %. Però son molts els qui defensen que el que va emprar era l’estadi egipci, sent fidel així a les unitats que es feien servir localment (300 colzes de 52,4 cm). En aquest cas, la circumferència calculada hauria mesurat 39.614 km, enfront dels 40.008 km actuals, cometent, doncs, un error increïblement petit ¡de menys de l’1%!. Van haver de transcórrer molts segles abans que un càlcul tan genial i avançat a la seva època fos degudament entès i apreciat.

Juntament amb el cas anterior, tenim aquí dos exemples excepcionals i paradigmàtics del que són capaços de fer els científics i les científiques. Haurien de formar part del programa de totes les escoles del país, si és que encara no és així. Els exemples que venen a continuació corresponen a temps molt posteriors: fites espectaculars en la construcció, pas a pas, de la ciència moderna des del seu mateix origen.

Salviati (alter ego de Galileu) navegant per l’Arno: el dia que va néixer la física moderna

Galileu Galilei (1564-1642) és considerat, amb tota raó, com el fundador de la ciència moderna (Fig. 1). Va complementar i estendre els treballs de Copèrnic, Kepler i Francis Bacon, configurant el que seria el mètode científic a partir d’aleshores. Ho veurem ara per mitjà d’un exemple cabdal.

Galileu fou el primer a formular el principi de relativitat, també anomenat de covariància. Aquest principi expressa, pura i simplement, el fet que té sentit parlar de lleis de la física; és a dir, que aquestes lleis existeixen, no canvien, són immutables quan ens traslladem a qualsevol lloc de l’univers, i, fins i tot, si viatgem en un vehicle que es desplaça en línia recta i a velocitat constant [E. Elizalde, The true story of modern cosmology (Springer, Berlín, 2021)]. D’això se’n diu un sistema inercial: en absència de forces que actuïn sobre ell, romandrà igual per sempre més, indefinidament.

Fig. 3. Frontispici i portada de Stefano della Bella per al Diàleg de Galileu, publicat el 1632 per Giovanni Battista Landini a Florència - Imatge: Domini públic.

En el seu famós llibre del 1632 Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo (Fig. 3), Galileu va expressar de manera magistral aquest principi. Ho va fer col·loquialment, en boca de Salviati, el seu alter ego en aquesta obra, quan proposa (en el segon dels quatre dies de diàlegs) dur a terme el següent experiment:

“Tanqueu-vos amb un amic a la cabina principal, sota la coberta d’un vaixell més aviat gran, i emporteu-vos-hi mosques, papallones i altres petits animals voladors. Pengeu del sostre una ampolla amb aigua, perquè es vagi buidant, gota a gota, en un ampli recipient que haureu situat a sota. Feu que el vaixell es desplaci de manera uniforme, sense fluctuacions en un sentit o un altre. Veureu caure les gotes al recipient, sense desviar-se a popa, tot i que el vaixell hagi avançat mentre les gotes encara eren a l’aire. Les papallones i mosques seguiran amb el vol habitual, d’una banda a l’altra, com si mai no es cansessin de seguir el ritme de la nau, per més ràpid que sigui. I mai no succeirà que es concentrin a popa.”

Aquesta és una descripció precisa i preciosa del principi de relativitat. Que quedi ben clar que les lleis de la física no canvien, però sí que ho fa la descripció del que succeeix, depenent de la referència en què ens situem. Entendre aquest punt és fonamental: la llei física, formulada en termes d’una equació diferencial, és invariable, com la pròpia equació, és a dir, és la mateixa a tot arreu. Però en situar-nos en un sistema de referència o en un altre, les condicions inicials canvien i, amb això, la descripció del que passa al nostre entorn.

Aquesta descripció s’ha de modificar —aplicant una transformació del que ara es coneix com el grup de Galileu— per passar del sistema de referència situat a terra ferma al sistema de referència fixat al vaixell, o a l’inrevés. En aquest darrer cas, el vaixell roman immòbil, i és el mar al seu voltant i el port del qual va salpar els que es desplacen. D’aquí ve el nom de relativitat: la descripció des de cada sistema de referència és diferent, encara que la llei física, l’essència, sigui la mateixa. Einstein va estendre àmpliament aquest concepte, d’una manera radical fins i tot, ja que en fer ús de la constància de la velocitat de la llum (c), arribà a la inversemblant conclusió que l’espai i el temps són també relatius: els seus valors depenen del sistema de referència en què ens situem. Amb això el canvi de paradigma fou brutal, com veurem més endavant.

Però el cert és que Galileu ja havia obert el camí a tot el que vindria després. Fou amb aquest concepte tan actual i avançat a la seva època (estès i generalitzat per Albert Einstein gairebé 300 anys més tard) que va néixer la ciència del nostre temps.

Fig. 4. Galileu a Venècia l’any 1609 ensenyant la utilitat del telescopi que havia dissenyat per veure objectes llunyans - Imatge: Domini públic.

Galileu va fer també d’altres contribucions importants, algunes de molt més famoses i populars entre el gran públic (Fig. 4). Deixà caure boles diverses i de masses diferents des de la torre de Pisa i va comprovar que arribaven al terra alhora, desmuntant la idea aristotèlica que els objectes cauen més ràpidament si són més pesats. Amb plans inclinats, va mesurar acceleracions constants, demostrant que tots els cossos cauen amb la mateixa acceleració, en absència de fricció. Va construir un telescopi amb què observà quatre satèl·lits de Júpiter, és a dir, quatre cossos que donaven voltes en torn del planeta. D’aquesta manera, va donar la raó a Copèrnic i li va prendre, un cop més, a Aristòtil: la Terra va deixar de ser el centre de l’Univers, cosa que li comportà gravíssims problemes amb l’Església. Totes aquestes descobertes es poden considerar moments eureka excepcionals, plens d’una càrrega emotiva que transmetia als qui l’escoltaven i que el va acompanyar en tot moment. “Eppur si muove”, és a dir, “i tanmateix es mou”, va sentenciar (amb veu baixa) referint-se a la Terra.

Però tots aquests descobriments, encara que siguin molt importants, empal·lideixen davant de l’esmentat, el principi de covariància, que va conduir a les primeres lleis del moviment, precursores de les de Newton. Dissortadament, li mancaven coneixements de matemàtiques, malgrat que ell mateix havia proclamat algun cop que “aquest era el llenguatge en què estaven escrites les lleis de la naturalesa”. Galileu va fer servir preferentment la geometria, però Steven Weinberg opinava que, si hagués emprat més l’àlgebra, en lloc de la geometria, hauria arribat força més lluny.

La relativitat galileana és la més simple de totes les teories relativistes. Galileu es va limitar a expressar-la (de manera certament molt acurada) només amb paraules senzilles, d’acord amb el seu temps, no pas amb equacions. Però ara fa cinquanta anys, Jean-Marc Lévy-Leblond rescatà de forma sistemàtica la relativitat galileana, reformulant-la matemàticament de manera totalment semblant a la relativitat especial d’Einstein. I en la meva tesi doctoral, partint d’aquestes idees vaig aconseguir connectar en tots dos sentits, basant-me en la teoria dels grups de Lie de les respectives transformacions —i fent servir tècniques de contracció i dilatació de grups en dimensions canviants—, el grup de Galileu amb els de Lorentz i de Poincaré. Un resultat ben remarcable.

Conclusió: en la seva versió actualitzada, la relativitat de Galileu, com a avançada precursora de les teories relativistes d’Einstein, ha seguit donant molt de joc. Més detalls a E. Elizalde, Cosmología moderna: desde sus orígenes; Catarata, Ed.; Col. “Física y Ciencia para todos” (Real Sociedad Española de Física y Fundación Ramón Areces): Madrid, 2020.

Newton, una poma, … i la gravitació universal

Fig. 5. Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, de Isaac Newton a la Biblioteca John Rylands, a Manchester, Anglaterra. Autor: Paul Hermans - Imatge: Llicència de Documentació Lliure GNU.

Durant la pesta del 1665, Isaac Newton es va retirar a la casa que tenia a Woolsthorpe. Un dia, al capvespre, mentre descansava al jardí, es fixà en una poma que queia a l’herba (altres versions afirmen que la poma li va caure al cap). Al fons, es podia ja contemplar la Lluna, que s’anava elevant molt lentament sobre l’horitzó. De sobte, Newton es va preguntar si la força amb què la Terra atreia la poma no seria la mateixa que la que atrapava la Lluna, no deixant-la escapar i obligant-la a fer voltes i més voltes; en un equilibri de forces perdurable, ad infinitum. Aquell instant (si és que l’escena va tenir lloc en realitat, cosa que no és prou clara [J.M. Montejo Bernardo, “¿De verdad recibió Newton un manzanazo?”, The Conversation, 27 gener 2019]) fou, sens dubte, el seu moment “eureka!”: va tenir la idea crucial que era la mateixa força la que actuava en tots dos casos (Fig. 5). Aquest és un moment eureka conegudíssim, tant o més que el del mateix Arquimedes.

Newton va unificar tot d’un cop els moviments celestes i terrestres sota un mateix principi: la seva llei de la gravitació universal, la repercussió de la qual fou, com tots sabem, extraordinària. Es tracta d’una llei d’aspecte molt senzill:  F = G M m / r², fórmula en la què apareix la constant G, coneguda com la constant de Newton o de la gravitació universal. És una de les més importants de la naturalesa. Newton va complementar aquesta descoberta amb les seves tres lleis de la dinàmica, en particular, la famosa expressió de la segona llei: F = m a, que van estendre les observacions prèvies de Galileu. A més (i això és molt important), els va donar ja el seu aspecte definitiu, com a equacions diferencials, per mitjà del seu altre invent extraordinari: el càlcul infinitesimal.

Newton va construir, d’aquesta manera, la sòlida estructura de la mecànica, una obra d’importància excepcional i que perdurarà sempre, per més mil·lennis que passin. La mecànica newtoniana es va demostrar capaç de predir les òrbites planetàries i trajectòries de projectils, i de cobrir tantíssimes necessitats de tècnics, arquitectes i enginyers; i continua així, de manera importantíssima, a dia d’avui.

La universalitat de les lleis de Newton va romandre intacta durant gairebé tres segles. Fins a l’arribada, ara fa cent anys, de les grans revolucions de la física, que les van corregir dràsticament per a grans velocitats i petites distàncies. Però, encara ara, dins del seu amplíssim domini de validesa, segueixen sent enormement útils, sense haver perdut gens ni mica del seu valor extraordinari [E. Elizalde, The true story of modern cosmology (Springer, Berlín, 2021)].