TEMES

Secrets i codis. Codis de la nostra vida: un passeig pel banc (V)

Els números també ens acompanyen en les nostres finances (comptes corrents, llibretes, txecs, targetes de crèdit, etc.), però, oi que desconeixem el paper de la matemàtica que s’hi amaga darrere? Volem saber com es construeixen? Ens agradaria saber si són falsos?

Tot seguit parlem alguns d’ells.

Comptes bancaris

compte_bancari.jpgSovint ens pot sorgir la curiositat del significat dels números que apareixen en els comptes bancaris. Són inventats? Hi ha alguna relació entre ells?

El número de compte corrent o llibreta del banc s’estructura en una seqüència de 20 dígits distribuïts com s’indica en la taula següent:

Entitat

Oficina

Dígit de control

Compte

abcd

efgh

ij

klmnopqrst

Els quatre primers dígits (abcd) identifiquen l’entitat bancària a què pertany el compte, els quatre següents (efgh) el número d’oficina en què es va obrir el compte, els dos següents (ij) són dígits de control i els deu restants, (klmnopqrst) el número de compte. Si algun d’aquests camps és inferior a la quantitat de xifres assignades a cadascun dels quatre camps, s’afegeixen zeros a l’esquerra per tal de completar la longitud de l’identificador; és a dir, si una entitat bancària és la 324, considerarem que és la 0324.

La primera xifra (i) del dígit de control (ij) serveix per verificar si els codis assignats a l’entitat i oficina són correctes, i el segon dígit (j) és una verificació del compte.

Com es calcula cada xifra del dígit de control?

Per al càlcul de cadascun d’ells s’utilitza el que anomenem aritmètica en mòdul 11. Segons la legislació vigent i criteris bancaris, abcd - efgh - ij - klmnopqrst correspon a un compte bancari si es compleix la combinació matemàtica que:

operant les 9 primeres xifres es té 4a + 8b + 5c + 10d + 9e + 7f + 3g + 6h + i = 0 (mòdul 11).

Mòdul 11 vol dir que el resultat ha de ser múltiple d'11, que és el mateix que dir que la resta de dividir el resultat entre 11 sigui 0.

I operant amb les 11 segones xifres s’obté

k + 2l + 4m + 8n + 5o + 10p + 9q + 7r + 3s + 6t + j = 0 (mòdul 11)

Per obtenir el dígit de control “i” i “j” s’estableix que si el número resultant és 11, el dígit de control serà 0, i si és 10, serà 1; en cas contrari el deixem igual.

Vegem algun exemple:

anuncia_ong.jpgL'ONG Asociación Paz y Desarrollo disposa d’un tríptic en què ens convida a col·laborar i rebre informació de les seves activitats, i en el qual apareix també el número de compte bancari: 2100-1887-77-0200007536.

Verificarem si 2100-1887-77-0200007536 és correcte, per fer-ho realitzarem les operacions indicades amb les nou primeres xifres:

4 · 2 + 8 · 1 + 5 · 0 + 10 · 0 + 9 · 1 + 7 · 8 + 3 · 8 + 6 · 7 + 7 = 154 ≡ 0 (mòdul 11)

Efectivament, si dividim 154 entre 11, s’obté de resta 0; en altres paraules: 154 és múltiple d'11.

I les operacions adients amb les onze xifres restants:

0 + 2 · 2 + 4 · 0 + 8 · 0 + 5 · 0 + 10 · 0 + 9 · 7 + 7 · 5 + 3 · 3 + 6 · 6 + 7 = 154 ≡ 0 (mòdul 11).

És a dir, 154 dividit entre 11 té per resta 0.

Per tant, el compte corrent és correcte!

Els dígits ocults

Suposem que en un cert compte han estat esborrats un parell de dígits, el primer dels quals correspon a la sucursal i l’altre és un identificador del compte. Amb això tenim que el compte és:

0182 e370 46 0010022r27, on e i r són els valors a determinar.

Si considerem els criteris establerts de verificació per a les nou primeres xifres i per a les onze següents, tenim:

4 · 0 + 8 · 1 + 5 · 8 + 10 · 2 + 9 · + 7 · 3 + 3 · 7 + 6 · 0 + 4 = 0 (mòdul 11)

9 · + 114 = 0 (mòdul 11)

Si provem per a diversos valors de e tindrem que l’únic valor que funciona és = 2. Amb això tenim que el primer dígit de la sucursal és 2.

Tanmateix, aquest valor del paràmetre “e” no sempre és calculable, en aquest cas es pot calcular pel fet que el 9 i l'11 no tenen divisors comuns (són primers entre si).

Passem al càlcul de r.

Tenim 0 + 2 · 0 + 4 · 1 + 8 · 0 + 5 · 0 + 10 · 2 + 9 · 2 + 7 · r + 3 · 2 + 6 · 7 + 6 = 0 (mòdul 11)

96 + 7 · = 0 (mòdul 11)

Si provem per a diversos valors de r, tenim que l’únic valor que funciona és = 2.

Per tant, el número final del compte és 0182 2370 46 0010022227.

I les targetes de crèdit?

targetes.jpgEl mètode més popular de pagament és la targeta de crèdit. Els mostrarem com en podem esbrinar l'autenticitat. Un cop més, l’aritmètica més elemental ens proporciona criteris per tal de saber si un número de targeta és fals.

La majoria de targetes, en particular la tradicional VISA, tenen 16 dígits agrupats de la forma  ABCD  EFGH  IJKL  MNOP, on el darrer dígit és el de control.

L’algoritme per verificar-ne l'autenticitat va ser desenvolupat per Hans Meter Luhn (1896-1964, tècnic d'IBM) i és com segueix:

  1. Considerem els 15 primers dígits (tots llevat el darrer, el de control).
  2. Cada dígit de les posicions senars començant per l’esquerra el multipliquem per dos. Si el resultat obtingut és major que 9, sumem les dues xifres (o, de manera equivalent, restem 9). És a dir, si obtenim 13, considerem:

 1 + 3 = 4 o bé 13 - 9 = 4

  1. Els resultats obtinguts els sumem i també sumem els dígits de les posicions parells (incloent-hi el de control).
  2. Si el resultat és múltiple de 10, és a dir, si dividint entre 10 s’obté de resta 0, la numeració de la targeta és correcta.

Després de la teoria, ara verifiquem si el número 1234  5678  9012  3452 d’una targeta de crèdit és correcte.

Segons l’algoritme fem:

                        1 · 2 = 2

                        3 · 2 = 6

                        5 · 2 = 10 ⇒ 1 + 0 = 1

                        7 · 2 = 14 ⇒ 1 + 4 = 5 (o bé 14 - 9 = 5)

                        9 · 2 = 18 ⇒ 1 + 8 = 9

                        1 · 2 = 2

                        3 · 2 = 6

                        5 · 2 = 10 ⇒ 1 + 0 = 1

                             2 + 6 + 1 + 5 + 9 + 2 + 6 + 1 = 32

                             2 + 4 + 6 + 8 + 0 + 2 + 4 + 2 = 28

                                         32 + 28 = 60

El resultat és 60. Per tant, el codi de la targeta és correcte.

Com podem descobrir la xifra “esborrada” d’una targeta de crèdit?

Per exemple, 4539 4512 03X8 7356

Començarem multiplicant els números de la posició senar (4 – 3 – 4 –1 – 0 – X – 7 – 5) i els reduirem els que calgui a una xifra:

4 · 2 = 8
3 · 2 = 6
4 · 2 = 8
1 · 2 = 2
0 · 2 = 0
· 2 = 2 · X  
7 · 2 = 14, 14 - 9 = 5
5 · 2 = 10, 10 - 9 = 1

Sumem els dígits de les posicions parells i els trobats, i obtenim:

30 + 41 + 2 · = 71 + 2 · X

El valor 71 + 2 · X ha de ser múltiple de 10. Si anem provant, trobem que l’únic valor que ho verifica és = 9.

Per tant, el número complet serà 4539 4512 0398 7356.

Contacta amb Divulcat