Les coordenades ( a 1
,..., a n
) de v
en la base [ e 1
,..., e n
] són úniques. Tot espai vectorial té una base (és una conseqüència de l’axioma de Zermelo). Si l’espai E
té una base formada per un nombre finit d’elements (base finita) l’espai és de dimensió finita
; aleshores totes les bases tenen el mateix nombre d’elements, nombre que s’anomena la dimensió de l’espai
, dim E
. Un espai vectorial de dimensió finita té infinites bases. Dues bases de E
, B
=[ e 1
,..., e n
] i B'
=[ e
' 1
,..., e
' n
] es relacionen mitjançant una matriu de canvi de base
:
essent
és a dir, les matrius A
i B
són inverses: B
= A - 1
. La matriu A
permet de fer un canvi de base
, és a dir, obtenir les coordenades en la base B
' d’un vector qualsevol v
a partir de les seves coordenades en la base B
:
Un espai té dimensió infinita
si donat un nombre natural n
és possible de trobar-hi n
vectors linealment independents. Una base d’un espai de dimensió infinita és un conjunt de vectors, generalment numerable, tal que qualsevol vector de l’espai pot ésser expressat com a combinació lineal finita o infinita (en el sentit d’una sèrie que convergeix segons alguna noció de límit) dels seus elements.