Cursà estudis musicals, de dansa, de producció audiovisual i d’humanitats a la Universitat Oberta de Catalunya. Dedicat a l’estudi, la promoció i la pràctica de la cultura tradicional, ha estat sardanista (Minyons d’en Serrat, Asert), dansaire i director de diversos esbarts (Terrassa, Catalunya Dansa, Igualadí, Ciutat Comtal i Rubí). Músic del grup de folk Ministrils del Raval, i fundador i gestor de diverses entitats culturals terrassenques. El 2005 fou impulsor del projecte Casa de la Música de Terrassa (juntament amb les de Salt, Mataró, l’Hospitalet de Llobregat i Manresa), que dirigí, i ha format part de les taules sectorials d’Indústries Culturals i de Música pel Pacte Cívic per a la Cultura de Terrassa. El 2001 fou cofundador de l’empresa Vesc (Vèrtex Empresarial de Serveis Culturals, SL), dedicada a la cançó, la música i la dansa catalanes d’arrel tradicional i, per extensió, de tota la Mediterrània. En 2008-17 fou director artístic del Mercat de Música Viva de Vic. Director de la Fira Mediterrània de Manresa (1999-2010), fou cap de recursos del Centre de Promoció de la Cultura Popular i Tradicional Catalana (1998-2000), i el 2011 en fou nomenat director.
És autor o coautor de llibres sobre la cultura tradicional, especialment sobre dansa: Terregada. Apunts sobre folklore de Terrassa (1991), Crònica i calendari de dansa tradicional (1994), i coeditor de Danses de la Terra, de la Biblioteca Joan Amades (1998), Calendari de danses tradicionals catalanes (1998) i Les festes a Catalunya (1999). El 1984 rebé el Premi Nacional de dansa.
El juliol del 2017 substituí Santi Vila en el càrrec de conseller de Cultura en el govern presidit per Carles Puigdemont. El 27 d’octubre, en què el Parlament de Catalunya aprovà la declaració de la creació de la República Catalana, el govern espanyol li ordenà cessar en el càrrec, juntament amb la resta membres del govern en aplicació de l’article 155 de la Constitució, que facultava la intervenció de la Generalitat de Catalunya. Acusat de sedició, rebel·lió i malversació en el Referèndum de l’1 d’octubre s’exilià a Brussel·les juntament amb el president Carles Puigdemont i tres consellers més, contra els quals la jutge de l’Audiència Nacional dictà una euroordre de detenció, tanmateix retirada el 5 de desembre pel jutge del Tribunal Suprem Pablo Llarena, que havia assumit la causa, el qual el març del 2018 la reactivà. Puig fou elegit diputat per la coalició Junts per Catalunya (JxCat) en les eleccions del 21 de desembre al Parlament de Catalunya convocades pel govern espanyol, però, atesa la seva condició d’exiliat, renuncià a l’acta el gener del 2018 per tal de facilitar la investidura del nou president. Al maig la justícia belga denegà per un defecte de forma l’euroordre per a la seva extradició al jutge espanyol, el qual la retirà al juliol, després que els tribunals alemanys rebutgessin per segon cop l’extradició de Carles Puigdemont per rebel·lió. Exiliat a Bèlgica, fou elegit regidor de Terrassa per JxCat en les eleccions del maig del 2019, bé que no pogué ocupar el càrrec, del qual dimití al juny. A l’octubre Llarena presentà la tercera euroordre contra Puig per malversació, rebutjada el gener del 2021 pel tribunal belga. Poc després, el tribunal d’apel·lació rebutjà el recurs del Tribunal Suprem espanyol i la fiscalia d’aquest país renuncià a presentar recurs al tribunal de cassació, decisió que la defensa considerà que exhauria les vies per a l’extradició de Puig.