El 2.026 és un nombre feliç?

Els nombres, igual que les persones, poden ser feliços o infeliços. Tot i això, la felicitat d’un nombre és menys complexa que en el cas de les persones.

Un nombre es considera feliç si, en sumar els quadrats dels seus dígits de manera repetida, en un moment donat, s’obté com a resultat el nombre 1. En cas contrari, el nombre és infeliç.

Un exemple seria el 7, vegem el procés:

7²=49, 4²+9²=97, 9²+7²⁼130, 1²+3²+0²=10, 1²+0²=1

I com he dit, si això no passa es considera infeliç, per exemple, el 4:

4²=16, 1²+6²=37, 3²+7²=58, 5²+8²=89, 8²+9²=145, 1²+4²+5²=42,  4²+2²=20, 2²+0²=4. 

Com veiem, en aquest cas tornem a l’inici (4) i, per tant, no arribarem a 1. Per la qual cosa, podem afirmar que el 4 és un nombre infeliç.

Els jugadors del Bayer tenen un dorsal amb un nombre feliç, en canvi, els “perdedors” tenen al dorsal un nombre infeliç. (Font: https://matematicasyfutbol.blogspot.com/2013/07/el-futbol-y-la-felicidad.html).

De nombres feliços d’una xifra només n’hi ha dos: 1 i 7 (com ja hem vist, un 7 que, a més a més, és un nombre primer).

De dues xifres hi ha 17 nombres feliços: 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94 i 97. D’entre aquests, destaquem que 13, 19, 23, 31, 79 i 97 són nombres primers feliços.

De tres xifres hi ha 123 nombres feliços: 100, 103, 109, 129, 130, 133, 139, 167, 176, 188, 190, 192, 193, 203, 208, 219, 226, 230, 236, 239, 262, 263, 280, 291, 293, 301, 302, 310, 313, 319, 320, 326, 329, 331, 338, 356, 362, 365, 367, 368, 376, 379, 383, 386, 391, 392, 397, 404, 409, 440, 446, 464, 469, 478, 487, 490, 496, 536, 556, 563, 565, 566, 608, 617, 622, 623, 632, 635, 637, 638, 644, 649, 653, 655, 656, 665, 671, 673, 680, 683, 694, 700, 709, 716, 736, 739, 748, 761, 763, 784, 790, 793, 802, 806, 818, 820, 833, 836, 847, 860, 863, 874, 881, 888, 899, 901, 904, 907, 910, 912, 913, 921, 923, 931, 932, 937, 940, 946, 964, 970, 973, 989 i 998.

Malgrat que hi ha infinits primers i infinits feliços, es desconeix si hi ha infinits que siguin feliços i primers alhora. Els que sí que coneixem que són nombres feliços i primers són: 7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193 i 239.

Aquesta seqüència i d’altres es poden generar en l’On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS), que és una base de dades que enregistra seqüències de nombres enters.

Entre els nombres perfectes coneguts, se’n coneixen tres que a més són feliços: 28, 496 i 8.128.

També sabem que hi ha sèries de nombres consecutius de nombres feliços tan llargues com es vulgui. El primer parell de nombres feliços consecutius és el 31 i el 32. El primer trio és el 1.880, 1.881 i 1.882.

Però cada vegada cal anar més lluny per trobar cadenes de nombres feliços consecutius. Per exemple, per trobar una cadena de nou nombres feliços consecutius hem de recórrer a nombres de 215 xifres. En general, podem dir que:

“Per a qualsevol nombre natural n, hi ha n nombres feliços consecutius: Per a n = 2, es té el primer parell 31,32; per a n = 3, es té la primera terna 1.880, 1.881,1.882; per a n = 4 es té la primera quarteta 7.839, 7.840, 7.841, 7.842”.

Si afegim o traiem zeros en qualsevol posició a un nombre feliç, continua sent feliç, i si ho fem en un nombre infeliç, continua sent infeliç, perquè no s’altera la suma dels seus quadrats.

Alguna propietat més a tenir en compte és que totes les potències de 10 són nombres feliços. Formalment, podem enunciar que tots els nombres del tipus  10ⁿ+3 i

 10ⁿ+9 amb n > 0 són nombres feliços.

I per acabar, unes darreres curiositats sobre els anys i la felicitat. L’any 2026 podem dir que “serà un any feliç”, perquè el 2026 és un nombre feliç.

Anteriorment, van ser nombre (i any) feliç el 2019 i el 2008, que, per cert, també va ser any de traspàs. En la nostra era solament hi ha 82 anys que són simultàniament feliços i de traspàs. L’anterior va ser el 1992.

I després del 2026 haurem d’esperar molt per arribar a un altre “any feliç”? Si exigim que sigui també any de traspàs caldrà esperar fins al 2036, però si som més conformistes i ens fixem només en la felicitat, caldrà esperar menys: 2030, ben diferent del que, curiosament, va passar al segle xix, en què va haver-hi tres anys seguits feliços, el 1880, el 1881 i el 1882.

Pel que fa a la utilitat de tot plegat, de moment, no passa de ser un entreteniment matemàtic, però potser en un futur se’n descobreix alguna aplicació pràctica.