El nombre d’or

Aproximadament l’any 350 aC Euclides va escriure Els elements, el llibre més difós després de la Bíblia i que ha estat objecte d’estudi gairebé durant més de 2.000 anys. Els elements recull bona part del coneixement matemàtic de l’època, i en el llibre sisè hi trobem el següent paràgraf:

“Un segment està dividit en mitja i extrema raó quan el segment total és a la part major com aquesta a la part menor”.

Això ho podem grafiar així:

Si interpretem el text original d’Euclides amb llenguatge més simbòlic, podem dir que:

Si tenim quatre quantitats a, b, c i d de manera que es verifiqui   (igualtat entre proporcions), els termes a i d s’anomenen extrems i els termes b i c mitjans de la proporció. Si el que tenim és de la forma  , aleshores el terme b s’anomena mitjana proporcional entre a i c.

De manera que  .

Sovint es coneix aquesta divisió com a divisió àuria o secció àuria del segment. La part que té una mesura de x unitats de manera que verifiqui la relació anterior () s’anomena segment auri del segment a.

És obvi que si agafem un segment de longitud a i considerem “dos trossos” de longituds x i y, això no sempre verificarà la relació . 

Ens entretindrem a descobrir quin és el valor d’aquest quocient .

Com que a = x + y, aleshores y = a - x i substituint   tenim   .

Operant  , arreglant una mica, , i resolent l’equació, tenim:

D'aquesta manera podem establir que el quocient és:

.

Si escollim la solució positiva (ja que es tracta de mesures), tenim:

Aquest nombre tan “singular” s’anomena nombre d’or i s’indica amb la lletra  (fi).

        =1,6180...

Com a curiositat us diré que l’assignació al nombre d'or de la lletra  la va efectuar l’any 1900 el matemàtic nord-americà Mark Barr (Pennsilvània, 18 de maig de 1871 – Nova York, 15 de desembre de 1950) en honor a l’escultor grec Fídies (Atenes, 490 aC – 431 aC) — és la inicial del nom de Fídies—, que va dissenyar les estàtues de l'Atena Pàrtenos i del Zeus olímpic, i el disseny de gran part de les escultures del Partenó. Alguns científics associaren aquesta assignació en analogia amb el nombre π, i d'altres al fet que l'escultor grec havia utilitzat la proporció àuria en la seva escultura, afirmació, aquesta darrera, que Barr desmentí posteriorment assegurant que "dubtava que Fídies hagués utilitzat el nombre d'or".

El que sí que se sap és que a l’antiga Grècia es va utilitzar el nombre d'or per establir les proporcions dels temples (proporció àuria), tant en les plantes com en les façanes, però d'això en parlarem properament...