Nombres primers sexys

El títol d’aquest article pot sorprendre, però els nombres primers sexys no tenen res a veure amb el significat actual de la paraula sexy. El terme prové simplement del mot llatí sex, que significa «sis».

En matemàtiques, dos nombres primers s’anomenen primers sexys quan la diferència entre ells és exactament de sis unitats. Així, per exemple, 5 i 11 formen un parell de nombres primers sexys perquè tots dos són primers i la diferència és 6:

11 − 5 = 6.

Altres exemples de nombres primers sexys són els parells (7,13), (17,23) o (83,89).

Característiques dels nombres primers sexys

Una característica curiosa dels nombres primers sexys és que un mateix nombre primer pot formar part de més d’un parell sexy.

Per exemple, el nombre 17 apareix en els parells (11,17) i (17,23) i el 157 pertany als parells (151,157) i (157,163).

També existeixen cadenes de tres o més nombres primers separats successivament per sis unitats. Per exemple, 151, 157 i 163 formen una cadena de tres nombres primers en què cada dos consecutius constitueixen un parell de nombres primers sexys.

Hi ha una propietat elegant que compleixen gairebé tots aquests parells sexys: dos nombres d’un parell sexy tenen el mateix residu quan es divideixen per sis.

Per exemple:

El parell (5,11), si dividim per 6 cada nombre tenim que el residu és 5

5=6 x 0 + 5 (residu 5)

11=6 × 1 + 5 (residu 5)

En el parell (7, 13), si dividim per 6 el residu és 1

7=6×1 + 1 (residu 1)

13=6 × 2 + 1 (residu 1)

En (17, 23)  el residu es 5

17= 6 × 2 + 5 (residu 5)

23= 6 × 3 + 5 (residu 5)

I així successivament.

Això és conseqüència d’un resultat clàssic de teoria de nombres: qualsevol nombre primer més gran que 3 és de la forma 6k−1 o 6k+1. Com que dos nombres primers sexys es diferencien en sis unitats, tots dos tenen el mateix residu en dividir-los per sis.

Parells de nombres sexys inferiors a 500

Per si teniu curiositat, us informo que hi ha 46 parells de nombres primers sexys inferiors a 500. Aquí us deixo la relació:

(5,11), (7,13), (11,17), (13,19), (17,23), (23,29), (31,37), (37,43), (41,47), (47,53), (53,59), (61,67), (67,73), (73,79), (83,89), (97,103), (101,107), (103,109), (107,113), (131,137), (151,157), (157,163), (167,173), (173,179), (191,197), (193,199), (223,229), (227,233), (233,239), (251,257), (257,263), (263,269), (271,277), (277,283), (307,313), (311,317), (331,337), (347,353), (353,359), (367,373), (373,379), (383,389), (433,439), (443,449), (457,463), (461,467).

Una curiosa família de nombres primers

Els nombres primers sexys formen una de les moltes famílies de nombres primers que desperten l’interès dels matemàtics, perquè tot i que la seva definició és molt senzilla, els nombres primers sexys encara plantegen preguntes sense resposta. Per exemple, es desconeix si existeixen infinitament molts parells de nombres primers sexys i tampoc no s’ha pogut demostrar la freqüència amb què apareixen entre els nombres naturals, malgrat que existeixen conjectures que en prediuen la distribució.

De totes dues qüestions plantejades, la més important és saber si n’hi ha infinitament molts. La majoria dels matemàtics creuen que sí, però fins ara ningú no ho ha pogut demostrar. I això és una conseqüència d’una conjectura molt més general, formulada per G. H. Hardy i J. E. Littlewood al segle XX, sobre la distribució dels nombres primers (“Some problems of ‘Partitio Numerorum’; III: On the expression of a number as a sum of primes”. Acta Mathematica, volum 44, pàgines 1–70, 1923).

Actualment, tot i que sabem generar-ne tants com vulguem amb l’ajuda d’un ordinador, els matemàtics encara desconeixem si aquesta família és infinita. I aquest és un dels molts misteris que fan dels nombres primers un dels camps més fascinants de les matemàtiques. Com passa sovint en matemàtiques, una definició molt senzilla pot donar lloc a problemes sorprenentment difícils.