Què vol dir resoldre un problema?
Probablement alguna vegada t’has trobat que no saps com buscar el camí que t’ha de portar a la solució d’un problema que et plantegen a l’àrea de matemàtiques.
Acabem de dir “camí” i aquesta és una paraula que ens va molt bé per a expressar el que et volem explicar en aquesta unitat. Quan parlem d’“estratègies per a resoldre problemes”, volem dir “aprendre a buscar camins” que ens portin cap a la seva solució. Hi ha un autor, George Polya* que diu: “Resoldre un problema és trobar un camí allí on prèviament no se’n coneixia cap, trobar la manera de sortir d’una dificultat, de vorejar un obstacle i aconseguir la solució desitjada –que no podríem obtenir de manera immediata– tot fent servir els mitjans adequats per a arribar-hi.”
Polya proposa un mètode de resolució de problemes. El seu mètode d’interrogació progressiva consisteix a fer una cadena de preguntes que et van orientant en un sentit determinat, és a dir, aquest mètode es basa a oferir ajudes progressives en forma de pregunta; es tracta d’anar fent preguntes que són, de fet, «pistes» –camins per a la solució– que ens poden ajudar a dirigir-nos cap a la resposta correcta del problema.
El mètode de resolució de problemes de Polya consta de quatre passos:
- Entendre el problema. Fase de comprensió.
- Cercar estratègies de resolució. Fase de concepció i elaboració d’un pla.
- Seguir una estratègia i resoldre. Fase d’execució del pla.
- Comprovar si el resultat és correcte. Fase de recapitulació.
Aquests quatre passos són una bona guia per a actuar de manera eficient a l’hora de resoldre problemes. És clar que, com en tantes coses de la vida, es necessita pràctica; cal exercitar el mètode per a arribar a tenir-ne un domini suficient. En tornarem a parlar més endavant.
Diferència entre problema i exercici
Els problemes i els exercicis no són ben bé el mateix. De fet, el que anomenem «problemes» i el que anomenem «exercicis» són dos tipus de treball diferents.
En el mètode dels quatre passos de Polya, que està pensat per a la solució de problemes matemàtics, s’assenyala la distinció entre exercici i problema. Per a resoldre un exercici, no cal pensar quin és el camí que cal seguir, perquè l’exercici ja és un camí; per exemple, per a resoldre una suma de trencats, simplement has de saber quina és la mecànica de l’operació que has de fer; es tracta d’una operació concreta i no cap altra; per tant, apliques un procediment mecànic que et porta a la resposta correcta.
En canvi, resoldre un problema comporta reflexionar sobre què et demanen i sobre què cal fer per a trobar la resposta correcta. Has de pensar de quina manera, a través de quines operacions matemàtiques, pots arribar a la solució. I possiblement et trobaràs que no hi ha una única manera –un únic camí– de trobar la solució (com en el cas dels trencats). El fet de saber trobar un camí de solució –el teu camí– forma part de la solució del problema. Utilitzar un procediment creatiu –saber trobar un camí– per a arribar a la solució és la característica essencial que distingeix un problema d’un exercici.
Resolució de problemes
Les capacitats necessàries per a resoldre problemes
Per a resoldre problemes es requereix enginy, fer funcionar la lògica, la imaginació, cercar estratègies... Ja veus que no es tracta, doncs, d’aplicar una mecànica rutinària i prou. Cada problema és un repte que et demana una certa astúcia.
El camí més important abans d’arribar a la solució d’un problema és el raonament, un treball mental consistent a explicar què passa, «què passarà si...» i com es pot resoldre, per tant, una determinada situació. És a dir, aplicar el raonament lògic (consulta el capitol El raonament lògic) al plantejament de problemes. La clau rau en: pensar, imaginar, comparar, descobrir i buscar estratègies que serveixin per a resoldre els problemes.
La resolució de problemes significa comprometre’s en una tasca de la qual no coneixem, d’entrada, el mètode de resolució. Per a aprendre a resoldre problemes, en diferents situacions, has d’assolir: formes de pensar, hàbits de perseverança, curiositat i confiança.
Sempre que puguis, comparteix el procediment –el camí– i la solució amb altres companys que també hagin resolt el problema. El fet de parlarne t’ajudarà a desenvolupar un llenguatge i a compartir amb ells unes representacions comunes dels camins escollits per a arribar a la solució.
Així, doncs, per a resoldre problemes són molt importants el procés i la metodologia, reflexionar sobre el que s’està fent i no actuar mai sense saber per què fas cada pas; per això és bo dissenyar un pla de treball, una ruta que cal seguir. I en cas que, tot fent camí, vegis que aquest no et porta enlloc, cal reiniciar el procés i fer un plantejament estratègic nou. Cal que et facis preguntes per a potenciar les teves capacitats de reflexió. Cada pas que fas en la resolució d’un problema és la resposta a una pregunta. Pregunta a pregunta, pas a pas, aniràs fent camí cap a la resposta final.
Què et pot ajudar a resoldre problemes?
Ja saps que hi ha una varietat prou àmplia de problemes: problemes de comprensió, de manipulació, de coordinació, d’ordenació, de classificació... En qualsevol cas, un dels factors que ajuden a la resolució de problemes matemàtics és la comprensió lectora. Llegir bé i entendre, per tant, el que es llegeix és una condició indispensable per a començar la resolució de problemes i anar per bon camí. Si no entens què et demanen, difícilment podràs aconseguir la solució correcta. Una bona comprensió del vocabulari en què s’enuncia un problema –llenguatge matemàtic– fa que tu, com a alumne, activis els teus dominis lingüístics i associïs les relacions que et proposa l’enunciat del problema amb l’expressió simbòlica de les matemàtiques.
Així doncs, en els problemes té molta importància el paper del llenguatge, perquè aquest està molt lligat als processos lògics del pensament. Podríem dir que llegir bé és comprendre bé i, en conseqüència, és tenir la possibilitat de pensar de forma lògica.
D’altra banda, per a poder resoldre un problema, cal tenir els coneixements necessaris per a fer-ho; per exemple, no pots pretendre resoldre un problema que implica treballar amb percentatges, si no tens clar el significat i el càlcul de percentatges. Tenir uns coneixements previs ajuden la comprensió lectora, és a dir, ajuden a fer una bona interpretació del problema i et permeten resoldre’l.
Tingues present que la motivació i les emocions són molt importants a l’hora de resoldre problemes. No et deixis vèncer per la primera dificultat que se’t presenti. Llegeix amb atenció, detingudament, què et demanen i quines dades et donen. Entendre bé el que et demanen t’ajudarà a estar més tranquil. I, de tota manera, mira de ser positiu!
Diferents mètodes de resolució
Tot seguit, et relacionem mètodes diversos per a la resolució de problemes. Veuràs que tots tenen aspectes comuns. Donar un cop d’ull a tots els que t’exposem no et farà cap mal; ben al contrari, podràs copsar de seguida allò que tenen en comú com a mètodes. Són aquests:
Mètode de Polya
Tal com hem mencionat abans en el primer punt, aquest mètode de Polya consta de quatre fases o passos de resolució:
1. Entendre el problema
- Llegeix l’enunciat. Entens tot el que diu?
- Pots explicar-lo o replantejar-lo a una altra persona amb les teves paraules?
- Pots dir quines són les dades?
- Saps què has de buscar? On has d’arribar? Quines són les incògnites?
- Hi ha informació suficient?
- Hi ha informació estranya?
- Aquest problema s’assembla a algun altre que has resolt anteriorment?
2. Cercar estratègies de resolució
Pots utilitzar alguna de les estratègies següents? Recorda que una estratègia es defineix com un artifici enginyós que condueix a un fi. Per exemple:
- Assaig i error (prova un camí; si veus que no et porta enlloc, abandona’l).
- Fes servir una variable.
- Cerca un problema semblant ja resolt (un patró).
- Fes una llista, per separat, de les dades que et donen i de les que necessites.
- Resol un problema semblant més senzill.
- Fes una figura o un dibuix. Ajuda’t amb la representació dels elements.
- Fes un diagrama.
- Utilitza el raonament directe o l’indirecte.
- Fes servir les propietats dels nombres.
- Resol un problema equivalent.
- Treballa la composició i la descomposició.
- Utilitza casos, exemples.
- Resol una equació.
- Cerca una fórmula.
- Fes servir un model.
- Fes servir coordenades.
- Fes servir simetries.
3. Seguir una estratègia. Executar el pla
- Segueix l’estratègia que et sembli millor per a resoldre completament el problema o bé segueix-la fins que la mateixa acció et faci buscar un camí diferent.
- Concedeix-te un temps raonable per a resoldre el problema. Si no tens èxit, deixa el problema a una banda i torna’l a agafar al cap d’una estona.
- No tinguis por de tornar a començar. Pot passar que una nova estratègia et condueixi a l’èxit. Si has trobat dues o tres estratègies, a vegades va bé resoldre el problema seguint-les totes. L’experiència que agafis serà important per a altres vegades o altres problemes que hagis de resoldre, i sabràs en quina has trobat el millor camí per a tu, el més senzill, el més llarg...
4. Comprovar si el resultat és correcte
- Et sembla que la teva solució és correcta? Satisfà el que et demanava el problema?
- Et sembla que hi ha una solució més senzilla?
- Entens com pots aplicar la solució a un cas més general?
Mètode de Guzmán
L’esquema o pauta d’actuació que proposa l’autor Miguel de Guzmán per a la resolució de problemes queda recollit en el quadre següent:
1. Familiaritza't amb el problema
- Tracta d’entendre a fons la situació.
- Amb tranquil·litat, al teu ritme.
- Juga amb la situació, no li tinguis por.
2. Busca estratègies
- Comença per la més fàcil.
- Experimenta.
- Fes-te un esquema, una figura, un diagrama.
- Tria el llenguatge adequat, una anotació apropiada.
- Busca un problema similar.
- Indueix.
- Suposa el problema resolt.
- Suposa que no.
3. Segueix la teva estratègia
- Selecciona les millors idees de la fase anterior.
- Actua amb flexibilitat. No et capfiquis amb una sola idea.
- Te n’has sortit? Segur? Examina a fons la solució
4. Revisa la teva estratègia i treun-ne conseqüències
- Examina a fons el camí que has seguit.
- Tracta d’entendre per què funciona.
- Mira si trobes un camí més simple.
- Mira fins on arriba el mètode.
- Reflexiona sobre el procés i treu-ne conseqüències per al futur.
Mètode Barberà
Per a resoldre un problema, l’autora Elena Barberà Gregori ens indica que cal passar per tres etapes: la planificació, el desenvolupament i la comprovació final.
1. Preparació
- Amb quin objectiu resolc o em fan resoldre aquest problema?
- Quines característiques té el contingut matemàtic: geometria, mesura, estadística...?
- Entenc el que em demana el problema?
- N’he fet algun de semblant?
- Tinc totes les dades? Les hauria de saber? Altrament, en quin lloc puc trobar la informació que em manca?
- Sabria anticipar un resultat?
2. Desenvolupament
- Quins passos seguiré per a resoldre el problema?
- Són correctes aquests passos? • Es pot escollir alguna altra via de resolució?
- Estic assolint els objectius que m’he o m’han proposat?
- Crec que el vaig resolent bé? Per què?
- Tinc temps suficient per a acabar correctament el problema?
3. Comprovació
- He encertat el resultat que he predit? Per què?
- He respost correctament? En què no i en què sí?
- Es pot resoldre d’una altra manera?
- Què he modificat del meu plantejament?
- He assolit els objectius que m’he o m’han proposat?
- Em pot ser útil la resolució d’aquest problema en una altra ocasió?
- En quina?
Com has pogut comprovar, els tres mètodes exposats, el de George Poyla, el de Miguel de Guzmán i el d’Elena Barberà, tenen en comú tres processos:
- Entendre bé el problema que et proposen.
- Cercar l’estratègia adequada per a resoldre’l.
- Comprovar la veracitat o la credibilitat de la solució trobada.
Classificació dels problemes
L’autor Josep Callís i Franco estableix una classificació dels problemes segons dues variables:
- L’obertura del plantejament.
- L’obertura de la resolució.
El quadre reproduït a continuació mostra, amb exemples, aquesta classificació.
Llista d’estratègies per a la resolució de problemes
A continuació, et presentem una relació d’estratègies diverses que pots fer servir per a la resolució de problemes:
- Llegeix l’enunciat del problema tantes vegades com sigui necessari.
- Fes-ne un dibuix = diagrama.
- Imagina’t la situació.
- Verbalitza –digues en paraules– la situació plantejada per trobar què et demanen, sense fer càlculs.
- Busca les dades importants i necessàries per a la resolució del problema.
- Subratlla les preguntes per saber què et demana el problema.
- Simplifica.
- Classifica el problema segons el concepte matemàtic.
- Recerca del material adequat per a poder resoldre el problema.
- Tempteja.
- Aplica fórmules, si és necessari.
- Designa equacions (incògnites que després tindran uns valors numèrics).
- Comprova.
- Dóna la resposta.
- Revisa si la resposta és coherent i si té lògica.
- Crea un problema equivalent i més senzill.
Pensa-hi una mica!
✓ Habitualment, et sembla que entens correctament els enunciats dels problemes matemàtics?
✓ Resoldre problemes matemàtics, ho trobes estimulant o més aviat una activitat autènticament ingrata i feixuga? Per què?
✓ Sabries explicar la diferència entre problema i exercici? Fes-ho.
✓ T’agrada resoldre els enigmes dels passatemps? Creus que hi ha alguna relació entre la solució dels enigmes i la resolució de problemes? Raona la resposta.
✓ Hem parlat d’estratègies i de camins cap a la solució. Quina relació et sembla que hi ha entre una cosa i l’altra?
✓ Acostumes a comprovar d’alguna manera si les solucions als problemes són correctes? Com ho fas?
Exemples
Enunciat 1
Dos excursionistes tenen dos recipients: un de 3 litres i un altre de 5 litres. S’aturen davant d’una font perquè necessiten exactament un litre d’aigua. Com s’ho fan per a omplir exactament un litre d’aigua si només disposen dels dos recipients i no volen malbaratar aigua?
Plantejament i resolució:
Primer omplen el recipient de 3 litres i seguidament buiden l’aigua que conté en el de 5 litres.
A continuació, tornen a omplir el recipient de 3 litres i aboquen, novament, el seu contingut en el de 5 litres. D’aquesta manera, acaben d’omplir el de 5 litres i es queden amb un litre en el recipient de 3 litres.
Comprovació de la solució:
3 litres + 3 litres = 6 litres
6 litres - 5 litres = 1 litre
Enunciat 2
Com puc col·locar 10 monedes dintre de 3 gots, de manera que a cada got hi hagi un nombre imparell i diferent de monedes?
Plantejament i resolució:
Tenim els gots G1, G2 i G3. Es tracta de posar una moneda en el G1, dues monedes en el G2 i set monedes en el G3. Perquè es compleixi l’enunciat, només hem de posar G1 dintre de G2. Així, dintre de G1 hi ha una moneda, dintre de G2 hi ha 3 monedes i dintre de G3 n’hi ha 7.
Enunciat 3
La suma de tres nombres consecutius és 27. Quins són aquests tres nombres?
Plantejament i resolució:
Anomenem:
x el nombre més petit dels tres que ens demanen.
(x + 1) al nombre consecutiu de x.
(x + 2) que prové de (x + 1) + 1 el nombre consecutiu de (x + 1).
Seguidament, plantegem una equació que compleixi que els tres nombres consecutius que ens demanen sumen 27. Per tant,
x + (x + 1) + (x + 2) = 27
x + x + 1 + x + 2 = 27
3x = 24 → x = 24/3 = 8
El nombre més petit x que ens demanen és 8.
(x = 8)
El nombre consecutiu de 8 és 9.
(x + 1 = 9)
I el consecutiu de 9 és 10.
(x + 2 = 10)
Per tant, els tres nombres que ens demanaven són el 8, el 9 i el 10.
Comprovació de la solució:
8 + 9 + 10 = 27
També podem plantejar el problema d’una altra manera:
Plantejament i resolució:
Anomenem:
x al nombre central dels tres que ens demanen.
(x – 1) el nombre anterior de x.
(x + 1) el nombre consecutiu de x.
Seguidament, plantegem una equació que compleixi que els tres nombres consecutius que ens demanen sumen 27. Per tant,
(x – 1) + x + (x + 1) = 27
x – 1 + x + x + 1= 27
3x = 27 → x = 27/3 = 9
El nombre central x que ens demanen és 9.
(x = 9)
El nombre anterior de 9 és 8.
(x – 1 = 8)
I el consecutiu de 9 és 10.
(x + 1 = 10)
Per tant, els tres nombres són el 8, el 9 i el 10.
Comprovació de la solució:
8 + 9 + 10 = 27