El principi d’equivalència d’Einstein en el món quàntic

El 2 de setembre passat, a la prestigiosa revista Science Advances aparegué un article, signat per dotze autors de vuit institucions diferents, on es comunicava que l’efecte relatiu de la gravetat sobre un objecte quàntic en caiguda lliure havia estat observat experimentalment [1]. Amb això es confirmava, per primera vegada a la història, la validesa d’una formulació plausible de l’important principi d’equivalència d’Einstein [vegeu el blog1] sobre un objecte molt petit, sotmès a les lleis de la física quàntica. El resultat obtingut al laboratori concorda amb precisió amb els diversos càlculs teòrics que ja s’havien dut a terme amb anterioritat, per un bon nombre d’investigadors, des de fa gairebé un segle.

Entendre de manera adequada aquests conceptes no és gens senzill; ni tan sols els físics de professió formats en altres especialitats ho tenen fàcil. Això podria explicar, en part, per què l’article ha tingut una difusió mediàtica més aviat escassa, malgrat la considerable importància del resultat i el fet que, entre els seus autors, hi figura el reconegut premi Nobel Sir Roger Penrose (famós pels seus teoremes de singularitat així com per l’inoblidable llibre: La nova ment de l’emperador [2]).

Tampoc a qui coneix el tema li resulta gaire fàcil explicar-lo amb paraules planeres. Aconseguir que els lectors i les lectores entenguin el que s'ha fet és el que es pretén aquí.

Què afirma el principi d’equivalència d’Einstein?

Un dia de 1907, mentre Albert Einstein era assegut davant la seva taula de treball a l’Oficina Suïssa de Patents, a Berna, es va sobresaltar, de sobte, en passar-li pel cap el “pensament més sortós de la seva vida”. Què succeiria si, en aquell precís instant, estigués caient dempeus des de la teulada de casa seva? Mentre caigués, no estaria pas sotmès a cap camp gravitatori: cauria lliurement com si la gravetat al seu voltant no existís. Si en aquell moment sostingués un objecte sobre el palmell de la mà (diguem, una poma) i el deixés anar, tombant la mà, l’objecte no cauria pas als seus peus! La poma continuaria al costat de la seva mà, sense separar-se’n gens ni mica durant la caiguda: no experimentaria cap gravetat!

Einstein raonà que, en deixar-se caure, s’hauria situat en un sistema accelerat (amb la mateixa acceleració que la gravetat), eliminant així completament la força gravitatòria en el seu entorn. Estaria en caiguda lliure! Segons va confessar més tard, aquell fou el dia en què es va gestar en el seu cap la teoria general de la relativitat.

Segons com es miri, aquesta idea tan profunda pot semblar una estupidesa. Però és ben cert que l’essència de la seva gran teoria ja estava tota condensada allí, en aquella pensada que havia tingut de sobte. És sempre d’idees extremadament simples d’on sorgeixen les teories més extraordinàries.

I així va ser també en aquest cas: Einstein va demostrar, a partir d’ella, que tant la massa com el camp gravitatori que genera poden fer-se desaparèixer localment, i ser substituïts per un simple moviment accelerat. És a dir, per la geometria del sistema de referència: per la curvatura de l’espaitemps. La teoria de la gravetat d’Einstein és una teoria de l’espaitemps. Per obtenir les equacions corresponents encara li van caldre uns quants anys d’esforços, tot i tenir l’ajut d’importants col·legues [blog2]. Però, ben mirat, les fórmules ja eren amagades allà dins, en la seva idea genial, en aquell principi fonamental que va anomenar d’equivalència.

Principi que també es pot expressar dient que la massa gravitatòria d’un cos, la m que intervé a la fórmula de Newton de l’atracció gravitatòria universal, F = GMm/r², és exactament la mateixa m que oposa el cos a ser accelerat, F = ma (m aquí massa inercial), quan se li aplica qualsevol força, d’acord amb la segona llei del mateix Newton [3].

Una incursió en el món quàntic

Tot intent d’aplicar aquestes lleis―de tanta utilitat a la física clàssica―a objectes molt petits, com ara molècules, àtoms o a les partícules que els constitueixen: protons, neutrons, electrons, i a les nombroses partícules elementals del món subatòmic, fracassa estrepitosament. Poc van durar les frustrades pretensions d’entendre ja només l’àtom més senzill, el d’hidrogen ―constituït per un protó i un electró que gira al seu voltant― com un simple sistema planetari en miniatura. En aquests nivells s’entra en un món radicalment nou i les lleis que el regeixen no tenen res a veure amb les del nostre nivell usual. Són les lleis de la física quàntica, molt més precises, de fet, que les de la física clàssica. Cal repetir-ho una vegada més: les equacions de Newton no serveixen allí, com tampoc les de la gravetat d’Einstein. Cal modificar-les de cap a peus, fins a trobar les que les substitueixen, les seves corresponents (d’alguna manera) en el món quàntic [blog3].

Així ho va fer Niels Bohr, precisament en el cas de l’àtom d’hidrogen, amb el seu famós model que desenvolupà el 1913 i que té, amb el model planetari newtonià, unes similituds matemàtiques ben interessants. Tot i que la força que regeix el cas atòmic no és precisament la gravitatòria sinó l’electromagnètica, el potencial corresponent té, de fet, la mateixa forma matemàtica. A més, s’identifica tota una estructura comuna als dos casos (estats lligats, energia negativa, simetria esfèrica, etc.). Però les diferències segueixen sent abismals: les òrbites precises desapareixen, i són substituïdes per orbitals (en química) i estats quàntics. L’electró no pot tenir pas qualsevol energia, sinó tan sols alguna de les corresponents a determinats estats quantitats; amb unes regles molt precises per al trànsit d’un estat a un altre. És un món completament diferent del que veiem cada dia.

El principi d’equivalència en el domini quàntic

Alguna cosa semblant succeeix en el cas del principi d’equivalència. Si bé aquesta teoria ha superat proves experimentals extraordinàriament precises dutes a terme amb matèria ordinària, la versió clàssica no es pot traslladar, sense més ni més, al nivell subatòmic. No era gens clar, doncs, com podria ser comprovada experimentalment amb objectes quàntics, els quals poden comportar-se com a ones i viatjar per més d’una trajectòria alhora.

Però resulta que sí, que també aquí es pot establir una correspondència escaient, la qual ens permetrà parlar del principi d’equivalència en l'àmbit quàntic. Aquest projecte ja va ser dut a terme ―per part de diversos autors― des del punt de vista purament teòric, a partir de 1927 [4]. Els seus càlculs i resultats mostraren de manera clara que el principi podia ser traslladat de fet al domini quàntic: que podria tenir sentit també en aquest nivell.

Més concretament, es va concloure que en el règim quàntic el principi d’equivalència adopta una forma que involucra la fase de gauge que correspon a la fase quàntica d’un paquet d’ones (PO) en caiguda lliure respecte de la d’un PO bessó, obtingut mitjançant divisió del feix inicial (splitting); aquest darrer hauria de romandre estàtic en el sistema de referència terrestre.

Des del punt de vista eòric, doncs, diversos autors ja havien calculat, en el decurs del darrer segle, que la fase quàntica hauria de tenir una dependència donada per la següent expressió, que és funció del temps, T, de caiguda lliure: mg²T³ / 6ℏ + gmzT, on m és la massa de l’objecte, g l’acceleració gravitatòria sobre la superfície de la Terra i z la coordenada en la direcció de la gravetat (l’altura). I uns quants autors havien també remarcat, a més, que la dependència T³ és un tret típic ineludible en qualsevol versió d’un possible principi d’equivalència quàntic [5].

El resultat de més amunt és el que s’obté, a la vegada, com el corresponent a la fase acumulada per un objecte quàntic accelerat en un potencial lineal. I de fet es pot obtenir d’una manera alternativa completament diferent, utilitzant el principi d’equivalència i una transformació galileana per connectar el nostre món clàssic amb el quàntic. D’ací la gran importància de mesurar en el laboratori aquesta fase, que és un aspecte del tot crucial per a la cercada connexió d’ambdós dominis. Però aquest experiment no s’havia dut a terme encara, fins ara.

Els seus autors han emprat àtoms de rubidi refredats fins a temperatures molt baixes, properes als 3 nK. Primer, van desenvolupar un nou interferòmetre d’àtoms freds, en el qual s’aconsegueix que un dels PO romangui estàtic en el sistema de referència del laboratori, mentre que l’altre és en caiguda lliure. L’essencial del principi d’equivalència en aquest nivell consisteix, com ja s’ha dit abans, a determinar l’efecte de la gravetat sobre la funció d’ona quàntica. Per dur-ho a terme, s’utilitza l’esmentat interferòmetre, que primer fa passar la funció d’ona per dos camins diferents (splitting), un en caiguda lliure i l’altre ancorat a terra, per a després fer interferir ambdós feixos, mesurant així la diferència de fase entre els dos [Fig. 1].

Fig. 1. Experiment IQG per mesurar l’acumulació de fase d’una partícula en caiguda lliure. (A) Diagrama espaitemps que il·lustra les trajectòries clàssiques dels PO a l’interferòmetre. Un divisor de feix crea una superposició coherent de dos PO amb diferents estats d’espín; un PO és llançat per una trajectòria balística en caiguda lliure durant 2T, mentre que el segon PO es manté estacionari i serveix com a referència. Un segon divisor de feix recombina els dos PO al final de la trajectòria balística. (B) Esquema de la realització experimental: A l’interferòmetre IQG longitudinal, el PO es manté estacionari, compensant la gravetat per mitjà de gradients magnètics produïts per corrents en els cables del xip atòmic microfabricat. [Fig. 1 de l’article [1], reproduïda amb llicència CC 4.0 (CC BY- NC), ús no comercial.]

Si bé els efectes de la gravetat sobre els estats quàntics ja havien estat observats en diversos experiments anteriors (fins i tot emprant interferòmetres atòmics semblants al de l’article), la novetat és que ara s’ha mesurat la diferència de fase gràcies a aquest dispositiu interferomètric genuïnament nou: després de l’splitting, en un dels feixos la gravetat es compensa mitjançant un camp magnètic (el que és equivalent a ancorar-lo sobre la superfície de la Terra), mentre que sobre l’altre feix la gravetat actua lliurement. Els autors l’han batejat com a Interferòmetre Quàntic de Galileu (IQG). La fase relativa dels PO observada va confirmar amb precisió la fase predita teòricament, quedant demostrat així que, en el règim de baixa energia, el principi d’equivalència pot ser estès al domini quàntic.

En resum, el resultat obtingut constitueix una prova crucial en la interfície entre la teoria quàntica i la gravetat, ja que l’efecte mesurat al laboratori és el mateix que es prediu en aplicar una versió molt raonable del principi d’equivalència al domini quàntic. Aquest principi d’Einstein, que és el fonament de la seva Teoria General de la Relativitat, s’estén, doncs, al món quàntic, malgrat el comportament tan diferent de la matèria en aquest nivell.

Importància pràctica del resultat

A primera vista, pot costar veure quines podrien ser les implicacions pràctiques directes, en el món quotidià, del resultat anterior. Encara que, de fet, n’hi ha d’importants, si més no indirectes: el resultat confirma una vegada més―i de manera brillant― fins a quin punt les teories fonamentals de la física estan fermament establertes. I aquesta fermesa pot ser traslladada, de manera immediata, al gran nombre d’importantíssimes aplicacions pràctiques que aquestes teories bàsiques tenen ja a la vida quotidiana, a escales i nivells molt diversos.

D’altra banda, el dispositiu IQG ideat pels autors obre de bat a bat la possibilitat que experiments posteriors, emprant partícules més grans com ara nanodiamants, en lloc de simples àtoms ―i en els quals, de fet, ja s’està treballant a hores d’ara―, siguin capaços d’explorar règims més propers a la transició clàssica-quàntica. Aquests règims són encara avui molt difícils d’abordar de manera teòrica i en aquest cas l’experimentació podria de fet avançar-se a la teoria. Aspecte molt positiu, certament, ja que això permetria obrir tot un camp nou, fins ara inexplorat.

Per acabar, el resultat del treball ens confirma, un cop més, que en la nostra formulació de les lleis fonamentals de l’Univers estem trepitjant terra ferma. Fins i tot si ens situem (sempre que el nostre pes no ultrapassi certs límits) sobre el pont tan esvelt que comença a connectar la gravetat clàssica amb la física quàntica.

Bibliografia

1. Or Dobkowski, et al., “Observation of the quantum phase of free fall and the consistency with the equivalence principle”, Science Advances 12, 36, set. 2016, DOI: 10.1126/sciadv.aec8045.
2. R. Penrose, The emperor’s new mind: concerning computers, minds, and the laws of physics. Oxford University Press, Oxford i Nova York, 1991.
3. E. Elizalde, “The true story of modern cosmology - Origins, Main Actors and Breakthroughs”. Springer-Nature, Berlín, 2021; E. Elizalde, Cosmología moderna: desde sus orígenes. Catarata, Ed.; Col. Física y Ciencia para todos (Real Sociedad Española de Física y Fundación Ramón Areces): Madrid, 2020.
4. Ref. 5-33 de la bibliografia de l’artícle [1].
5. Ref. 3, 8,1 4-16 de la bibliografia de l’artícle [1].