Fou procurador del tribunal de guerra del 1781. Intentà de donar a la història un rigor científic i revalorà l’estudi de les cròniques i altres documents. La seva tasca d’historiador fou influïda per l’il·luminisme francès.
Deixeble de Leonardo da Vinci, posseí un notable vigor expressiu: Madonna Casio (1500, Musée du Louvre, París), Mare de Déu i Nen (National Gallery, Londres), Narcís a la font (Galleria degli Uffizi, Florència). Fou també un retratista notable.
Estudià a les universitats de Munic, Leipzig, Manchester i New Haven. Des del 1910 fou professor de física i química a la Universitat de Yale, on descobrí l' ioni , isòtop del tori i producte de la desintegració de l’urani. El 1907, arran d’un suggeriment fet per Rutherford, reeixí a calcular l’edat dels minerals segons llur contingut de plom.
Desenvolupà, amb J.W.Gibbs i J.C.Maxwell, la mecànica estadística. Estudià a Linz i a Viena, on es doctorà l’any 1866. Professor de física a Graz, a Munic, a Leipzig i a Viena des del 1895 fins al seu suïcidi, el 1906.
Amic de Karl Friedrich Gauss, es dedicà a l’estudi dels principis de la geometria en el seu Tentamen iuventutem studiosam in elementa matheseos purae introducendi (1831-33), publicat en dos volums. És autor d'Öt szmorújáték (‘Cinc tragèdies’, 1817) i Párisi per (‘Procés a París’, 1818).
Publicà el seu principal treball com a apèndix al Tentamen..., obra del seu pare, amb el títol d'Appendix scientiam spatii absolute veram exhibens (1831-33).
Llicenciada en literatura francesa per la Sorbona. Residí uns anys a l’Argentina (on col·laborà a la revista “Sur”) i als EUA. Ha escrit les novel·les La última niebla (1935) i La amortajada (1938), que representaren una ruptura amb la tendència del criollisme imperant en la literatura xilena, i els contes Las islas nuevas (1939), La maja y el ruiseñor (1960), etc.
Profundament influït per Diofant, escriví l'Algebra, parte maggiore dell’aritmetica, divisa in tre libri (1572). Una segona part sobre geometria es conserva inacabada. Matemàtic de transició, fou el primer a treballar amb nombres imaginaris, cosa que li permeté de resoldre diverses equacions. Introduí noves notacions, com els parèntesis. El seu principal treball d’enginyer fou l’assecament de les terres pantanoses de Val di Chiara (Toscana).
Obtingué la medalla Fields el 1974. És conegut per un teorema de la teoria de nombres que porta el seu nom, segons el qual existeix una infinitat de nombres primers p tals que p + 2 té, com a màxim, quatre divisors primers.