Resultats de la cerca

Si el vector és determinat per les seves components en un sistema de coordenades ortonormals eixos perpendiculars i unitats iguals sobre cada eix, la norma del vector v = x 1 , x 2 , x 3 és expressada així Per mitjà del producte escalar, és D’aquesta manera la noció de norma s’estén a espais vectorials de dimensió qualsevol, finita o infinita La norma té en tot cas les propietats de la distància, és a dir, és positiva o nulla, només el vector zero té norma nulla, i satisfà la desigualtat triangular,

Els vectors v 1 , , v m formen un sistema de vectors directors de F , i el nombre m fixa la dimensió de la varietat Les varietats lineals de dimensió 1 són les rectes , i les de dimensió 2, els plans En general, en un espai afí de dimensió n , una varietat lineal de dimensió n -1 és anomenada hiperplà

Les coordenades a 1 ,, a n de v en la base e 1 ,, e n són úniques Tot espai vectorial té una base és una conseqüència de l’axioma de Zermelo Si l’espai E té una base formada per un nombre finit d’elements base finita l’espai és de dimensió finita aleshores totes les bases tenen el mateix nombre d’elements, nombre que s’anomena la dimensió de l’espai , dim E Un espai vectorial de dimensió finita té infinites bases Dues bases de E , B = e 1 ,, e n i B’ = e’ 1 ,, e’ n es relacionen mitjançant una matriu de canvi de base essent és a dir, les matrius…

I acomplint-se les propietats λ + μ e = λ e + μ e , λ e + f = λ e + λ f , λμ e = λμ e i 1 e = e Els elements de E són anomenats vectors , i els elements de K , escalars Una part de E que sigui subgrup respecte a la suma i que sigui estable respecte al producte per qualsevol escalar, és anomenada subespai de E , i amb les mateixes operacions de E és un altre espai vectorial Si F és un subespai de E , hom pot definir congruències a E mitjançant la relació d’equivalència x ≡ y mòd F , si i només si la diferència x — y pertany a F Això permet de formar el conjunt quocient E/F quocient, el…

Si e 1 , e n és una base de E , aleshores el conjunt de formes lineals f i E→K, amb imatges sobre el cos K de l’espai vectorial, definits per f i e j =δ i j , essent δ i j =0 si i ≠ j , δ ij  =1, forma una base de l’espai dual E *, i s’anomena la base dual de la inicial

En l’espai vectorial de tres dimensions ℝ 3 els subespais són el mateix espai, l’origen de coordenades i totes les rectes i els plans que passen per l’origen F és un subespai de E si, donats qualssevol x , y de F i λ de K , aleshores la combinació lineal x ,-λ y pertany a F Tota família de vectors determina l’anomenada envolupant lineal , o mínim subespai, que els conté La intersecció M ∩ N de dos subespais M i N és un subespai, però la reunió M ∪ N no ho és en general La suma M + N definida per a tots els vectors que són suma d’un element de M i un de N és el mínim subespai que conté la…

És anomenat també espai separat Els espais euclidians de qualsevol dimensió són de Hausdorff