Les mesures del món

Tipus de mesures

La interpretació científica del món consisteix molt sovint a reduir els fenòmens complicats a situacions simples o que en tot cas sapiguem descriure. Quan es dóna una "explicació" d’alguna cosa no gaire clara, en general el que es fa és exposar de quina manera el fenomen en qüestió es pot veure com la conseqüència lògica d’alguna altra cosa que ja coneixem bé.

En aquesta operació de relació lògica entre les diverses dades de l’experiència té un paper fonamental la matemàtica. A partir de certes premisses, la matemàtica ens permet fer previsions quantitatives que després podem confrontar amb l’experiència. Però el mitjà principal amb què operen les matemàtiques és el número i, per tant, per a poder aplicar les matemàtiques a les ciències experimentals cal, primer que res, traduir en números les dades de l’experiència. La mesura s’ocupa d’aquest problema.

Què vol dir mesurar?

Gràcies als sentits podem dir si un color és vermell o verd, si un so és greu o agut o si una superfície és calenta o freda. Sabem també distingir fàcilment quina és la més alta de dues persones, encara que la diferència sigui de pocs centímetres. Però no podem dir en absolut en quina mesura és vermella una cosa, en quina mesura és agut un so ni en quina mesura és alta una persona. O, més ben dit, amb una mica d’experiència podem intentar fer una estimació d’aquestes coses, però cal haver treballat prèviament amb instruments de mesura que ens hagin permès una comparació quantitativa de les diferents dimensions. Per això gairebé tothom sap fer una estimació més o menys exacta de l’alçada d’una persona, ja que qui més qui menys ha fet servir una cinta mètrica alguna vegada, mentre que gairebé ningú no sap quantificar un color, sinó només descriure’l en comparació amb els altres, ja que ben poques persones, a banda dels especialistes, han fet servir un colorímetre, que és un instrument exprés per a mesurar la intensitat dels colors.

El procediment de mesuratge consisteix justament en la determinació quantitativa de les diverses dimensions que ens interessen. Després de mesurar la temperatura d’un forn, per exemple, no direm simplement que el forn "és calent" sinó que "és a 620°C de temperatura", és a dir, que és més calent que un forn a 610°C i més fred que un altre a 630°C. Sigui quina sigui la magnitud de què parlem, l’alçada d’una persona o la massa d’una partícula subatòmica o bé la temperatura del Sol o l’elasticitat de l’acer, mesurar vol dir determinar la relació entre la magnitud que ens interessa i una altra magnitud del mateix tipus que escollim, per convenció, com a unitat. El resultat del mesurament, doncs, és donat pel conjunt d’un número (la relació esmentada) i per la indicació de la unitat de mesura elegida. Parlar d’un rodet de fil i dir simplement que té una llargada de 50 no significa res, ja que no sabem si es tracta de 50 metres, de 50 centímetres o, qui sap?, de 50 pams.

Tots els mesuraments, de la magnitud que sigui i fets amb l’instrument i en les condicions que siguin, comparteixen un seguit de característiques. Mitjançant les tècniques adequades, intentem determinar la relació entre la magnitud objecte del mesurament, que es pot anomenar amb el terme tècnic de "mesurand", i una altra magnitud del mateix tipus, elegida com a unitat de mesura. Però les modalitats amb què es crea aquesta relació depenen de manera determinant de la magnitud que es vol mesurar i de les condicions en què ens trobem en el moment de la mesura. No té gaire sentit dir ras i curt que volem prendre les mides d’una taula. Realment, què és el que volem mesurar? Les dimensions (en aquest cas, l’amplada, l’altura o el gruix de la fusta de la superfície) o bé el pes o la temperatura o alguna altra cosa? Queda clar que les operacions que cal fer per a mesurar-ne l’altura són del tot diferents de les que calen per a mesurar-ne el pes. Les maneres de mesurar les diverses magnituds són tan diferents que alguns estudiosos de filosofia de la ciència han arribat a afirmar que el caràcter distintiu de les diferents magnituds és la manera com són mesurades.

Però encara que allò que volem mesurar sigui sempre la mateixa magnitud (per exemple, la longitud), les modalitats de mesurament són ben diferents si la magnitud mesurable és l’altura de la taula, la distància al Sol o el diàmetre d’un barret.

Les mesures directes

Gràfic d’un exemple de mesura d’una superfície irregular, com pot ser la determinació de l’àrea d’una illa (en aquest cas, Menorca). La superposició d’una quadrícula regular, de la qual es coneix la unitat (cada quadradet), permet saber de manera només molt aproximada la superfície insular després de sumar tots els quadradets plens i fer una mitjana dels quadradets que resten incomplets.

ECSA

En alguns casos és possible comparar dues magnituds (la magnitud mesurable i la unitat de mesura) simplement superposant-les. És el cas del mesurament de la llargada quan la magnitud que és l’objecte de mesura (o "mesurand") oscil·la entre pocs centímetres i pocs metres, i podem fer servir una cinta mètrica. L’instrument de mesura, en aquest cas, no és altra cosa que un regle en el qual la unitat de mesura o una fracció d’aquesta es repeteix un cert nombre de vegades, numerades, de manera que n’hi ha prou a fer coincidir un extrem de l’instrument amb un extrem del mesurand i verificar quantes unitats es llegeixen a l’altre extrem. És una operació molt senzilla que tots hem fet moltes vegades. Si l’instrument, per exemple, és graduat en mil·límetres, es podrà efectuar la mesura en mil·límetres, però no en desenes o centèsimes parts de mil·límetre, ja que les ratlletes de l’escala graduada estarien massa juntes i no es podrien llegir ni amb lupa.

Suposem ara que volem mesurar l’àrea d’una superfície de forma irregular, per exemple una illa representada en un mapa geogràfic. Podem posar damunt el mapa un full de paper transparent i mil·limetrat i començar a comptar els mil·límetres quadrats que són inclosos dins el contorn de l’illa. Aquest també és un mesurament per superposició, per bé que notablement més entretingut que l’anterior. Pot ser que hi hagi quadrets del paper mil·limetrat que siguin travessats pel límit de l’illa i tindrem dubtes sobre com els hem de comptar. Els podem afegir si ens sembla que més de la meitat del quadret és ocupat per l’illa, i deixar-los de banda en cas contrari. De tota manera, hi haurà un cert marge d’error, però això és inevitable en tots els mesuraments. Hi insistirem més endavant.

En altres situacions, un mesuratge per superposició és impossible. Com es poden superposar dues temperatures? Aleshores, cal recórrer a un instrument, en aquest cas, òbviament, al termòmetre, que posat en contacte amb la magnitud que es mesura, al cap de poca estona n’iguala la temperatura.

El termòmetre mesura la pròpia temperatura, però si aquesta és igual a la de la magnitud mesurable, doncs, problema resolt. L’aparell és calibrat per sempre, ja que va ser comparat amb altres aparells de característiques semblant i ja conegudes, i indica en una escala graduada en quina posició s’atura la columna de mercuri: 0°C, 10°C, 20°C o la que sigui. En aquest cas fem visualment una lectura en una escala graduada i, per tant —en un cert sentit—, el que llegim és una longitud, ja que és la posició de l’extrem de la columneta de mercuri en un regle graduat, però la manera com ha estat construït l’instrument ens assegura que el valor llegit és la temperatura desitjada.

També la cinta mètrica ha estat "calibrada" pel fabricant quan hi va dibuixar l’escala.

Moltes altres magnituds es mesuren utilitzant instruments calibrats que permeten la determinació del valor de la magnitud que ens interessa mitjançant la lectura d’una escala graduada. Per exemple, la tensió elèctrica amb el voltímetre, la intensitat lluminosa amb l’exposímetre o el pes amb la bàscula. En molts instruments, l’escala graduada amb un índex que es desplaça ha estat substituïda per un visor numèric que presenta directament el valor del resultat de la mesura, però això no és més que un recurs tècnic per simplificar la lectura. La base és la mateixa, i l’essència de la mesura no canvia.

Les mesures indirectes

Sovint hi ha situacions en què no resulta possible o no és convenient mesurar una magnitud de la manera que acabem de descriure. Per exemple, si algú vol mesurar la velocitat a què passa un tren, probablement mesurarà la longitud d’un tram de via i el temps que el tren triga a recórrer-lo i després establirà la relació fent servir una simple regla matemàtica.

De manera anàloga, si algú vol saber l’àrea d’una superfície de forma geomètrica simple, segur que no recorrerà al mètode, complicat i moltes vegades imprecís, del paper millimetrat que hem descrit abans, sinó que farà simplement alguns mesuraments de longitud i després establirà les relacions geomètriques entre costats, altures, diagonals... i àrea de la figura.

Així mateix, hi ha magnituds per al mesurament directe de les quals no existeixen aparells, com per exemple una d’importantíssima, que és l’energia. N’hi ha d’altres que, quan la magnitud mesurable és de dimensions "raonables", es poden mesurar directament però només és així en aquest cas concret.

Evidentment, no es pot mesurar amb la cinta mètrica la circumferència de la Terra! En aquestes circumstàncies cal recórrer a fórmules matemàtiques que relacionen la dimensió que ens interessa saber amb altres dimensions que podem mesurar de manera directa. Mesurem aquestes darreres i després utilitzem les matemàtiques per a obtenir el resultat desitjat. Naturalment, en aquests casos la bondat del resultat obtingut depèn també de l’aplicabilitat de la fórmula matemàtica elegida, és a dir, de la hipòtesi que fem sobre el fenomen estudiat. (Un exemple d’aquest problema, que és molt important, es comenta a "El diàmetre de la Terra".)

A vegades també en les mesures directes d’una magnitud, fetes utilitzant aparells adequats, el mesurament s’efectua en realitat de manera indirecta, perquè tota la feina de processament de les dades la fa l’aparell i qui el llegeix gairebé ni se n’adona.

Un cas típic és el comptaquilòmetres que mesura la velocitat d’un cotxe. De fet, aquest instrument mesura solament la velocitat de gir de les rodes, però ja que se’n coneix el diàmetre, dóna directament la velocitat del cotxe.

El diàmetre de la Terra

El savi grec Eratòstones relacionà l’altitud del Sol i la distància entre Syene (Assuan) i Alexandria per fixar el radi terrestre, considerant que la Terra era esfèrica i que els raigs solars incidien perpendicularment sobre Syene. Equivocà els seus càlculs en un 16 per cent, però demostrà que és possible obtenir coneixements rellevants amb grans dosis d’enginy.

ECSA

El primer mesurament força acurat del diàmetre de la Terra fou realitzat per Eratòstenes cap a l’any 200 aC. Aquest savi grec va observar que en un dia ben concret (el solstici d’estiu) a la ciutat egípcia de Syene (avui, Assuan) els raigs solars del migdia aconseguien il·luminar el fons dels pous, és a dir, provenien exactament de la vertical. Aleshores va mesurar l’altitud màxima del Sol, és a dir, l’angle en què el Sol apareix a l’horitzó el mateix dia en una altra ciutat d’Egipte, Alexandria, que considerava en el mateix meridià. Partint de la hipòtesi que la Terra era esfèrica i que el Sol era a una distància molt superior del diàmetre de la Terra i, per tant, els raigs solars eren pràcticament paral·lels a Alexandria i Assuan, a més de tenir en compte consideracions geomètriques, Eratòstenes va relacionar l’altitud del Sol a Alexandria, la distància entre Alexandria i Assuan, obtinguda mitjançant mesuraments terrestres, per obtenir finalment el radi de la Terra.

El valor que va trobar Eratòstenes és el 16% més elevat que el que avui coneixem. Cal considerar, però, que Alexandria i Assuan en realitat no estan situades al mateix meridià (hi ha una diferència de 3° de longitud), que al solstici a Assuan els raigs no són exactament verticals (es desplacen de la vertical poc més de mig grau), i sobretot que l’estimació feta per Eratòstenes de la distància entre Alexandria i Assuan, que es basava en la velocitat mitjana d’un camell, era per això decididament inexacta. De tota manera, la mesura obtinguda amb aquest procediment és, doncs, sorprenentment acurada. En canvi, les altres hipòtesis en les quals es basava el seu càlcul (Terra esfèrica i raigs solars paral·lels), encara que no s’haguessin verificat "exactament", no podien conduir a un error apreciable. Aquest mesurament mostra com, amb mitjans molt simples però amb gran enginy, es pot arribar a coneixements que seria impossible assolir de manera més directa.

Escales, estimacions i mesures

Quadre 9.1 Escala de Mohs per a la determinació de la duresa dels minerals.

ECSA

El fet que es pugui assignar a una magnitud un valor numèric no és suficient per a poder parlar de mesura. En algun cas potser es tracta simplement d’una ordenació, i aleshores els números s’utilitzen amb independència del seu significat matemàtic usual, com si fossin només "etiquetes". Vist així, en aquest cas, també es podrien fer servir les lletres de l’alfabet. Per exemple, si en una competició ciclista valoréssim el temps emprat pels ciclistes a partir de l’ordre d’arribada i diguéssim que el primer ha emprat el temps 1 i el segon, el temps 2, la mesura fóra força incorrecta. És cert que el temps del primer (1) és menor que el del segon (2), però és igualment cert que el temps emprat pel primer no és normalment la meitat del temps emprat pel segon! Aquesta manera de comptar el temps ens permetria mantenir un ordre qualitatiu, però no ens permetria fer comparacions quantitatives ni aplicar els resultats del mesurament a cap fórmula matemàtica on intervingui la magnitud "temps".

Una condició essencial per poder parlar de mesura quantitativa és que es pugui establir un criteri que permeti afirmar quan una magnitud és, per exemple, el doble d’una altra, és a dir, un criteri vàlid per determinar relacions (en el sentit matemàtic) entre magnituds. Això sovint no és gens fàcil. Un exemple típic és la duresa d’un material. És relativament senzill dir si un material és més dur que un altre. El material més dur és capaç de ratllar l’altre, però no viceversa. Però resulta una mica més enrevessat establir quan una duresa és "el doble" d’una altra. I això que la duresa d’un mineral es pot avaluar per mètodes directes o indirectes. Directament, se sol utilitzar una escala progressiva simple, com l’escala de Mohs, que indica deu minerals en ordre creixent de duresa, cadascun dels quals és capaç de ratllar el que el precedeix en l’escala i pot ser ratllat pel que el segueix. En els mesuratges indirectes, es fan proves en condicions convencionals amb, per exemple, les escales de Brinell o de Knoop. Tots aquests diversos mètodes donen sempre el mateix ordre entre els materials examinats, però les relacions entre les diferents dureses depenen del criteri elegit.

Un fet semblant es verifica també en la "mesura" de la intensitat d’un terratrèmol. L’escala Mercalli, que es basava solament en els efectes més o menys desastrosos del sisme, ha estat substituïda per l’escala de Richter, que es fonamenta en una altra magnitud (mesurable, per bé que de manera indirecta), que és l’energia alliberada pel terratrèmol.

Però amb magnituds molt més "usuals" també pot resultar difícil establir un criteri per determinar una relació quantitativa. Quin sentit tindria, per exemple, afirmar que una temperatura de 20°C és "el doble" que una de 10°C? I quina és la relació entre 20°C i 0°C? I entre 20°C i –20°C? Matemàticament, pot ser fàcil establir la relació, però aquesta relació no té cap significat físic. També en aquest cas, l’escala termomètrica dóna mesures relatives que permeten una ordenació, però en aquesta forma no es presten a un tractament matemàtic. Solament amb el desenvolupament de l’estructura teòrica de la termodinàmica ha estat possible descriure la temperatura com a magnitud quantitativa (la temperatura termodinàmica absoluta, que es mesura en kelvins), però en aquest cas s’ha de renunciar a l’escala centígrada, a la qual per motius històrics estem tan acostumats en la vida quotidiana.

Sovint, per a entendre quina és la magnitud efectivament important que ens interessa descriure en les formulacions teòriques per tal que assumeixin la forma més simple i més útil possible, cal un treball llarg i lent que comprèn fases successives de desenvolupament instrumental i d’elaboració teòrica. El cas de la temperatura és emblemàtic, però no és l’únic. Fins i tot la definició d’una de les dimensions aparentment més familiars, el temps, ha passat històricament per una sèrie accidentada de transformacions que n’han fet la mesura cada cop més acurada i el significat teòric cada vegada més precís i ben definit.

La precisió de les mesures

Un mesurament no s’acaba en donar un valor numèric i la unitat de mesura corresponent a una magnitud. També cal tenir molt clar quin és el marge d’error del resultat. En aquest món, certament, hi ha mesures "equivocades" quan, per exemple, el tècnic encarregat de realitzar-les comet un error important, utilitza els aparells de manera incorrecta o llegeix una cosa per una altra. No existeixen mesures "exactes" de magnituds contínues, si per aquestes mesures entenem les que tenen sempre un resultat fix i perfectament establert.

Les causes dels errors

Existeixen múltiples causes d’error quan s’efectua una mesura, i no sempre tots aquests errors es poden esmenar fàcilment. El que es pot fer, i el que cal fer de totes passades si es volen obtenir mesures precises, és reduir l’error al mínim.

Per començar, pot passar que la mateixa magnitud que es vulgui mesurar no estigui ben definida. Per exemple quan comprem una capsa de claus, tots iguals i amb les mateixes característiques, i volem saber quant fan de llargada. Si ens conformem a saber aquesta llargada amb un error d’un mil·límetre (és a dir, establim que mesuren 12 o 13 mm, i tant se val que facin 12,1 o 12,2 mm), aleshores no hi ha cap problema. Ara bé, si volem saber la llargada dels claus amb la precisió de centèsimes de mil·límetre i fem servir l’aparell adequat, descobrirem que els diferents claus de la capsa no resulten gens iguals, per bé que hagin estat fabricats tots alhora el mateix dia i per la mateixa màquina. Entre un clau i un altre hi pot haver diferències fins a dècimes de mil·límetre, motivades per causes imputables al funcionament de la màquina.

Posarem un altre exemple. Volem mesurar l’amplada d’una taula de fusta, i descobrim que un cantó fa 82,9 cm d’ample i l’altre, 83,1 cm. La diferència no sembla gaire important, però vol dir que el fuster no va ser precís del tot o bé que la fusta s’ha deformat una mica. Fet i fet, no té gaire sentit preguntar-se quina és l’amplada de la taula, perquè a l’escala dels mil·límetres no es pot considerar rectangular sinó més aviat trapezoïdal. Però si ens basta saber que fa 83 cm (sense mil·límetres) no hi ha cap problema.

A banda d’aquests casos tan clars, n’hi pot haver d’altres menys evidents. Agafem una superfície de vidre treballada amb molta cura, amb les cares ben polides, planes i paral·leles, i mesurem-ne el gruix amb un instrument adequat i amb la màxima precisió possible. Podem descobrir que les cares no són planes en absolut, sinó que hi ha rugositats casuals escampades per tota la superfície, amb una diferència aproximada entre "muntanyes" i "valls" de dècimes de mil·lèsimes de mil·límetre. Això depèn de la manera com el vidre hagi estat polit. Una dècima de mil·lèsima de mil·límetre, és molt? És poc? Depèn de com es miri. És cert que si volem saber el gruix amb una precisió extrema, mai no podrem arribar al resultat de, per exemple, 1,234234 mm. Les últimes dues xifres escrites es refereixen ja a centmil·lèsimes i a milionèsimes de mil·límetres, mentre que el gruix varia molt més d’un punt a un altre. Una xifra com aquesta, doncs, no té sentit. Una manera més assenyada de referir el resultat de la mesura seria d’1,2342 mm, amb un error de 0,0001 mm.

Totes les mesures tenen algun error

Malauradament, aquesta mena de problemes pel que fa a la magnitud mesurable es presenta també quan es consideren els aparells de mesura. Una cinta mètrica metàl·lica que en el moment de sortir de fàbrica a una temperatura de 20°C fa exactament 2 m de llarg, un dia d’estiu (amb una temperatura xafogosa superior a 30°C) esdevé de 2,0005 m només per efecte de la dilatació tèrmica, amb una diferència de mig mil·límetre aproximadament. Un component electrònic que avui és calibrat en un cert valor, demà en tindrà un altre per efecte de l’"envelliment", i si aquest component fa part d’un instrument, això pot afectar el resultat de les mesures. La indicació de les lectures dels aparells, en general, també pot veure’s lleugerament influïda per una àmplia gamma de factors ambientals, a vegades difícilment controlables, com la temperatura, la pressió i la humitat atmosfèriques, el camp magnètic terrestre o induït, o bé també per la lenta variació causada per l’ús de les característiques de certs materials, els desplaçaments mecànics dels components d’un instrument a conseqüència de cops o la presència de pols, entre molts d’altres.

Quan, en els laboratoris d’investigació, es fan mesures d’alta precisió, s’intenta esbrinar d’alguna manera com el resultat del mesuratge ha pogut ser modificat per tota una sèrie d’influències ambientals possibles (o vinculades a les característiques de l’aparell), com les que hem indicat fa un moment. Es tracta de tenir-les en compte tant com sigui possible per fer les correccions oportunes, a menys que s’aconsegueixi evitar-les quasi del tot (per exemple controlant i estabilitzant la temperatura i la pressió). Això significa que al laboratori s’obtenen resultats molt més precisos que en els mesuraments casolans, en què tot això no es té en consideració. Però, amb tot, la precisió sempre té un límit, perquè mai no podem conèixer amb completa exactitud totes les causes imaginables que poden influir en el que estem fent. Cap mesura, en cap circumstància, no pot ser mai infinitament precisa.

Unitats de mesura

L’elecció de les unitats de mesura de les diferents magnituds ha estat un procés històricament molt complex. El sistema internacional d’unitats de mesura que s’utilitza ara i aquí, i a gairebé tots els països del món, és el resultat d’un treball molt llarg d’unificació i de perfeccionament d’unitats locals, sorgides d’èpoques en què es deixava sentir molt menys l’exigència tant de comunicacions comprensibles per tothom com de precisió científica. Quasi totes les unitats antigues van sorgir arran d’imposicions comercials locals. Amb tot, la idea que és convenient definir unitats iguals per a tothom no és pas nova, perquè ja Carlemany es va decantar per la unificació d’algunes unitats en el seu imperi.

Una bona unitat de mesura s’ha de poder determinar amb gran precisió amb els instruments que després s’empraran per a prendre mesures amb aquesta unitat. Convé que la precisió amb què es defineix la unitat no sigui un element limitador de la precisió de tot el procés de mesura. Per exemple, una unitat de longitud definida per una barra de ferro clavada en un suport a l’aire lliure (com es feia sovint durant el Renaixement) corre el risc de variar lleugerament de dimensions amb la temperatura i l’oxidació, i probablement no serà mai un paral·lelepípede perfecte, de manera que la seva "llargada" depèn en part dels dos punts des d’on es mesuri.

Un altre requisit fonamental d’una bona unitat de mesura és que es pugui reproduir amb facilitat, de manera que tothom la pugui construir o fer-ne una còpia. En aquest sentit, una unitat definida com la llargada de l’avantbraç del faraó és poc accessible i a més ha de redefinir-se cada cop que mor el sobirà. Com que és molt rar que la mostra "oficial" d’unitat de mesura s’adopti efectivament (per exemple, la unitat internacional de massa va sortir per última vegada de la seva caixa forta subterrània el 1946!), cal no cometre errors importants en la reproducció de les unitats de mesura que fem servir cada dia.

Pesos i mesures dels Països Catalans

La metrologia catalana tradicional té una base romana, però la majoria de les unitats locals són d’origen medieval. La varietat d’unitats existents era una dificultat afegida a les transaccions comercials. Per això, Carlemany, ja l’any 789, va requerir la unificació de les unitats de pesos i mesures. L’aportació de la cultura àrab comportà la introducció d’altres unitats en aquelles terres on la seva influència fou més decisiva. També Jaume I el Conqueridor intentà crear una metrologia única. Les Corts de Montsó, reunides l’any 1585, van decidir portar a terme la unificació sobre la base de les unitats vigents a Barcelona. El projecte va aconseguir una notable simplificació arreu, ja que a molts indrets es van adoptar les unitats dels centres comercials o caps de vegueries. Aquest nou ordre metrològic es va mantenir fins a l’adopció del sistema mètric decimal, tot i els intents reials de Felip V, el 1739, i de Carles IV, el 1801, d’introduir la metrologia castellana. A la darreria del segle XVIII, es va realitzar l’amidament de l’arc del meridià que passa per París —treballs en què van col·laborar activament alguns científics catalans (vegeu "El naixement del metre i Catalunya")—, fet que representà l’establiment universal del patró de longitud. A Espanya, el sistema mètric decimal va ser introduït oficialment el 1849 en crear-se la Comisión Permanente de Pesos y Medidas. Tot i això, l’acceptació popular va ser molt lenta i encara avui es fan servir expressions locals de mesura o de pes.

La metrologia tradicional catalana és molt heterogènia, ja que, a les grans variacions territorials, cal sumar-hi les variacions temporals.

Tots els pobles havien de tenir els patrons exposats de forma pública; així, a la Seu d’Urgell, encara es conserven sota els porxos del Carrer Major les mesures de gra del 1397. D’altra banda, el nom de moltes places recorda el producte que s’hi venia, com la plaça del Vi, a Girona; la plaça del Carbó, a Vic; la plaça de la Sal, a Lleida, o la plaça de l’Oli, a Mallorca, entre d’altres. En aquests llocs es feien servir sovint balances, recipients o canes no homologats, que havien de ser validats pel mostassaf, l’oficial encarregat de vetllar per la bona aplicació dels patrons locals.

Tradicionalment la metrologia catalana s’ha referit a la longitud amb el terme "mida", que es definia per comparació amb alguna part del cos (mides antropològiques), amb patrons o amb itineraris.

Les mides antropològiques més destacades són el peu (0,259 m a Catalunya i Balears, o 0,302 m al País Valencià), el pas (0,777 m a Barcelona), la braça (1,671 m), el pam (0,194 m a Barcelona, o 0,226 m a Alacant) i la colzada (0,442 m a Catalunya, o 0,453 m a València). Entre les mides referides a patrons, destaquen el destre (2,82 m), la cana (1,555 m a Barcelona, o 1,987 m al Conflent) i la vara (0,778 m a Lleida, o 0,906 m a València). Les mides itineràries eren representades per la llegua (6 717,60 m a Catalunya, 6 037,09 m a València, o 12,5 km a Mallorca), la milla marina (1 851,66 m) i la imprecisa hora de camí (3,5-5 km), utilitzada fins i tot com a referència en alguns atles.

Les mesures de superfície eren molt variables. N’hi havia de geomètriques i segons el treball agrícola o la sembradura. Les mesures de superfície geomètriques més importants eren la mujada (4 896,5008 m2), la vessana (2 187,43 m2, 2 488,81 m2 o 2 916,57 m2, segons fos vessana de rei, baronial o quartera de terra) o la fanecada (831,0964 m2, pròpia del País Valencià). La mesura de superfície bàsica segons el treball agrícola era el jornal, que es definia per l’extensió de terra que es podia treballar en un dia i per tant les equivalències eren molt variades, ja que, per exemple, un jornal equivalia a 2 190,2 m2 a Sant Carles de la Ràpita, 3 422 m2 a Mediona, 4 358 m2 a Verdú o 6 084 m2 a l’Espluga de Francolí. La mesura de superfície segons la sembradura era la quartera, que equivalia a la superfície que es podia sembrar amb una quantitat determinada de gra, però era tan variable com, per exemple, 2 962,08 m2 a Igualada, 3 387,48 m2 a Arbúcies o 3 672,34 m2 a Puigcerdà.

Les mesures de capacitat eren diferents per a grans o per a líquids. Les mesures de grans bàsiques eren la carga (124,8 kg a Barcelona, 125,1 kg a Lleida, o 127,8 a València) i el cafís (199,20 l a Tortosa, 201 l a València, o 249,3 l a Alacant). La carga se subdividia en la mesura, la mitgera, el sester i la quartera, i el cafís, en la faneca i l’almud. Les mesures de líquids es referien sobretot al vi o a l’oli. La mesura de vi bàsica era la carga (121,4 l a Barcelona, 138,6 l a Vilafranca del Penedès, o 161,5 l a València), subdividida en la bóta, el mallal, la canada, el barraló, les aimines, la mitgera i el càntir. La mesura d’oli bàsica també era la carga (104,27 l a Girona, o 129,2 l al País Valencià), que se subdividia en la bóta, el sester, la dorca, la mesura, el quarter i la quarta.

Les unitats principal de pes eren el quintar (41,6 kg a Catalunya i Andorra, o 51,5 kg a Castelló de la Plana), la rova (10,4 kg a Barcelona i Lleida, o 12,7 kg al Maestrat), la lliura (386,5 g al Rosselló, 400 g a Barcelona, o 411,5 g a Reus) i l’unça (29,61 g a Alacant, 29,58 g a València, 33,33 g arreu de Catalunya, o 33,91 g a Mallorca).

Ja ho veieu, cada producte podia tenir la seva pròpia unitat, cada lloc mesurava segons els seus propis patrons i sota d’un mateix nom es podien amagar capacitats molt diverses.

Propagació dels errors de mesura

Resumint, doncs, les mesures són afectades per errors vinculats a la magnitud que és objecte de la mesura, a l’instrument i a la unitat de mesura. Quan s’efectua un mesurament indirecte, és a dir, quan no mesurem directament la magnitud que ens interessa sinó altres magnituds que hi tenen a veure mitjançant relacions matemàtiques, encara es fa més complicat d’avaluar l’error amb què es coneix el resultat final. En les mesures directes, de fet, coneixem prou les característiques de l’instrument per a poder preveure —amb una mica d’experiència— l’error comès; però, ¿com ho hem de fer en els mesuratges indirectes en els quals el valor final de la mesura és el resultat de càlculs matemàtics i no d’una operació amb un aparell?

Posem-ne un exemple. Volem mesurar el volum d’un paral·lelepípede i fem servir un regle sabent que l’error de mesura és de 0,5 mm. La mesura de l’amplada resulta 3,55 cm, l’altura 4,0 cm i la profunditat 2,2 cm. El volum (amplada 3 alçària 3 profunditat) resulta de 31,24 cm3. L’error de cada mesura és de 0,5 mm, i per tant l’amplada efectiva en realitat podria oscil·lar entre 3,5 i 3,6 cm, l’altura entre 3,95 i 4,05 cm, i la profunditat entre 2,15 i 2,25 cm.

Quin podria ser aleshores el volum mínim? 3,533,953 2,15 cm3 = 29,72 cm3 aproximadament. I el màxim? 3,63 4,0532,25 cm3 = 32,80 cm3 aproximadament. Per tant, l’error del volum és com a màxim d’1,5 cm3 aproximadament, en el pitjor dels casos, en què totes tres mesures s’hagin desplaçat en el mateix sentit (cosa que passa efectivament si la culpa és d’un aparell mal calibrat). Un error de mig mil·límetre en cada mesura es tradueix en aquest cas en un error d’1,5 cm3 (al voltant del 5%) en el volum final.

En general, no cal fer tots aquests càlculs. Hi ha fórmules matemàtiques que permeten obtenir directament l’error d’una mesura indirecta coneixent el de cada mesura directa. Però és important saber que també el que sembla el resultat d’un càlcul té un cert error, no per culpa de la matemàtica (només faltaria!) sinó perquè les dades numèriques de partida no són segures al 100%.

Una manera molt usual i convencional de saber aproximadament l’error d’una mesura consisteix a no escriure totes les xifres que resulten del càlcul numèric, sinó només les que són segures, o quasi. Per ser precisos s’escriuen les xifres que són segures o poden variar poques unitats, i no s’escriuen aquelles sobre el valor de les quals no tenim cap certesa. En l’exemple anterior el resultat s’hauria d’haver escrit només "31 cm3" perquè totes les xifres de després de la coma són del tot insegures, atès que l’error és superior a 1 cm3. És per això que en els càlculs anteriors hem escrit molts "aproximadament". A més, algunes de les xifres escrites no signifiquen res, doncs encara menys les que s’han omès! En les mesures més importants i més acurades convé escriure simplement l’error global de mesura; en el nostre cas, s’hauria pogut escriure 31 cm3 ± 1,5 cm3.

Un coneixement, explícit o implícit, de l’error del resultat d’una mesura és molt important per avaluar correctament el significat d’aquesta mesura i no creure, per exemple, que 80,45 cm és significativament més gran que 80,42 cm encara que les mesures s’hagin pres amb un metre de fuster. En realitat entre aquests dos valors no hi ha cap diferència significativa si l’error de mesura és d’1 mm.

La metrologia contemporània

És possible atribuir a les diverses magnituds físiques (per exemple, la llargada, el pes específic, el potencial elèctric, etc.) unitats de mesura del tot independents entre elles.

En temps passats es feia així, però no resulta gaire convenient. Suposem, per exemple, que usem el metre com a unitat de mesura de la longitud, l’hectàrea (ha) per a les àrees, i el litre per al volum. Quina és l’àrea d’un camp rectangular de 200 m de llarg i 20 m d’ample? Per la geometria sabem que l’àrea d’un rectangle s’obté fent la multiplicació de la base per l’alçària: per tant, 203200 fan 4 000. Però l’àrea d’aquest camp no fa certament 4 000 ha, sinó només 0,4 ha! De la mateixa manera que un cub de 2 m d’aresta no té un volum de 23232 = 8 l, sinó de 8 000 l.

Els sistemes d’unitats de mesura

En definir les unitats de mesura de manera independent les unes de les altres, les fórmules que descriuen tant les regles de la geometria com les lleis físiques es compliquen inútilment. Per exemple, usant les unitats que hem fet servir abans per a obtenir l’àrea d’un camp rectangular, mesurada en hectàrees, no n’hi ha prou a multiplicar la mesura de la base per la de l’altura, sinó que cal multiplicar el resultat obtingut per un factor de conversió, que en aquest cas és 0,0001.

És fàcil imaginar què passaria si mesuréssim les longituds en peus i les àrees en acres, com encara fan els nord-americans! En canvi, si mesurem les longituds en metres i les àrees en metres quadrats, és a dir, si definim la unitat de mesura de les àrees com la d’un quadrat els costats del qual fan la unitat de mesura de les longituds, aleshores —i només aleshores— és veritat que l’àrea és igual al producte de la base per l’altura, sense apèndixs ulteriors.

Si mirem de simplificar al màxim les fórmules que descriuen les lleis físiques, eliminant-ne els factors inútils, ens limitarem a definir independentment les unitats d’unes poques magnituds importants, i després definirem les unitats de totes les altres magnituds. Per exemple, atès que la velocitat es calcula com una relació entre l’espai recorregut i el temps emprat per recórrer-lo, la unitat de velocitat més còmoda és el metre per segon, és a dir, la velocitat de qui recorre 1 m (unitat de mesura de la longitud) en 1 s (unitat de mesura del temps).

Res no impedeix de definir també altres unitats de mesura de la velocitat, com el quilòmetre per hora o el nus marítim, però per a fer càlculs no són tan còmodes.

El sistema internacional

El sistema internacional (SI) estableix, a més de les definicions de les unitats de mesura fonamentals, les tècniques per comparar aquestes unitats i també una sèrie de regles per expressar correctament els resultats de les mesures (una mena de "regles ortogràfiques" de la mesura!). Les unitats de mesura fonamentals s’exposen en el quadre 9.2.

A més d’aquestes unitats fonamentals, en el SI hi ha moltes més unitats, dotades del nom i el símbol corresponent; per exemple, la unitat de força es diu newton i s’abreuja N o la unitat de potència és el vat (o watt) i s’abreuja W. Però aquestes unitats, a diferència de les enumerades abans, no són independents les unes de les altres sinó que es relacionen amb les unitats fonamentals per l’exigència ja esmentada de simplificar al màxim les fórmules més importants (vegeu el quadre). Observeu que el quilogram és la unitat de massa, i no —com se sol dir en el llenguatge comú— de pes. El pes en física és una força i, per tant, es mesura en newtons.

Quadre 9.3 Unitats del sistema internacional.

ECSA

Quadre 9.2 Unitats de mesura bàsiques del SI.

ECSA

Existeixen moltes altres unitats d’interès històric que no s’inclouen en el SI perquè comporten complicacions inútils. Entre elles, per exemple, totes les unitats "angleses" (com la polzada, que equival a 2,54 cm; el peu, que és igual a 30,48 cm, o la milla terrestre, que són 1 609 m), que els mateixos anglesos utilitzen cada vegada menys, però que els americans s’obstinen a mantenir. En aquest mateix sac, s’hi sol posar també la caloria, el cavall de vapor o l’atmosfera, per esmentar-ne només algunes de les més comunes. Per diverses raons, aquestes unitats no són convenients en els càlculs i és millor no utilitzar-les, encara que hi hagi qui continua fent-les servir perquè s’hi ha acostumat. És ben probable que amb el temps desapareguin, ja que avui el seu ús no és estrictament legal i no es poden utilitzar en les transaccions comercials.

Quadre 9.4 Prefixos del sistema internacional per a designar les potències de 10.

ECSA

En escriure les unitats de mesura SI cal observar algunes regles "ortogràfiques". N’hi ha tres d’importants: (1) Els noms de les unitats van sempre en minúscula; per exemple, es diu "volt" i no "Volt"; (2) Els símbols que representen les unitats s’han d’indicar després del número que assenyala la mesura, i exactament de la manera "oficial", respectant també les majúscules i minúscules, i sense cap punt al final. Per exemple, el segon s’abreuja "s", no "s." ni "seg"; (3) Per a evitar escriure molts zeros o moltes xifres després de la coma, es poden usar múltiples o submúltiples decimals de les unitats anteposant al nom de la unitat el prefix corresponent. Per exemple, "c" per a 0,01, i així "cm" equival a 0,01 m. Els prefixos admesos pel sistema internacional s’indiquen en el quadre 9.4.

Aquests prefixos es poden aplicar a totes les unitats que tinguin un nom propi, però també en aquest cas s’han d’usar exactament en la forma oficial. L’exigència de respectar les majúscules i les minúscules es fa comprensible, per exemple, en la presència del prefix "m" i del prefix "M", que no s’han de confondre!

L’Oficina Internacional de Pesos i Mesures

Cap a mitjan segle XIX, els científics de tots els països ja reconeixien la superioritat del sistema decimal d’unitats de mesura basat en el metre respecte de la confusió d’altres unitats de mesura existents. L’exigència de facilitar els intercanvis comercials i les comunicacions científiques i tècniques entre diferents països va impulsar disset estats a signar, el 20 de maig de 1875, el Tractat del Metre, que instituí una Oficina Internacional de Pesos i Mesures, amb seu a Sèvres, a França. L’Oficina existeix encara avui i gaudeix de prerrogatives diplomàtiques semblants a les de l’ONU a Nova York. És dirigida per un comitè internacional, i periòdicament es convoca la Conferència General, que adopta decisions sobre les unitats i les modalitats de mesura. Participen en la Conferència científics que duen a terme en els respectius països recerques avançades en el camp de les mesures d’altíssima precisió.

Progressivament, el sistema mètric ha evolucionat molt, i amb una sola excepció totes les unitats de mesura fonamentals es defineixen avui a partir de fenòmens naturals que qualsevol pot reproduir en principi, després de l’abandó dels patrons artificials que s’empraren fins el 1875. N’és l’excepció el prototip de la unitat de massau, el quilogram, que encara es guarda a Sèvres. A tots els països es conserven patrons de les unitats de mesura, i hi ha confrontacions periòdiques per verificar que els diversos patrons nacionals continuïn coincidint entre ells.

El sistema internacional d’unitats de mesura és el resultat actual d’aquesta organització. El nom i la sigla SI van ser introduïts el 1960, però els detalls del sistema encara són subjectes a perfeccionaments continus. El sistema se segueix gairebé arreu del món i té caràcter legal a tota la Unió Europea.

Evolució de les unitats de mesura

Per donar una idea de la mena d’evolució que han patit les unitats de mesura, ens centrarem en la definició actual de dues de les unitats més importants: la de temps i la de longitud.

La unitat de temps

El segon es va definir en principi en termes de rotació de la Terra al voltant del seu eix, i per ser exactes, com a 1/86 400 del dia solar. Però com que la durada del dia solar no és constant al llarg de l’any, aleshores es va cercar la referència a una fracció de l’any, que té una durada més estable que la del dia. Amb tot, estudiant fenòmens atòmics extremament estables, els científics es van adonar que ni tan sols la revolució terrestre al voltant del Sol és prou estable, ja que la Terra, per bé que molt lentament, alenteix el gir al voltant del Sol. La causa d’aquest fenomen rau en els moviments de les marees, induïts principalment per la Lluna però en els quals també té influència l’atracció solar. Les marees, de fet, absorbeixen energia del sistema Terra-Sol, i això provoca un alentiment infinitesimal del moviment de revolució terrestre.

Aleshores, davant aquestes dificultats, es van abandonar els criteris de mesurament fonamentats en l’astronomia i es va construir un rellotge basat en la freqüència d’oscil·lació de certs àtoms. La definició actual del segon es refereix a una transició concreta en l’àtom de cesi, exactament a una freqüència de 9 192 631 770 períodes per segon. No es tracta, per descomptat, d’un "rellotge" portàtil, ja que és un aparell científic molt sofisticat, però es pot reproduir amb els instruments necessaris, i avui hi ha molts rellotges d’aquesta mena que es comuniquen entre ells per ràdio i es controlen mútuament per assegurar-ne una precisió extrema. Aquests rellotges atòmics són els instruments més precisos en termes absoluts de què es disposa actualment. Cap altra magnitud no es pot mesurar amb tanta precisió com el temps.

Així mateix, s’han construït rellotges atòmics de dimensions modestes que s’empren amb finalitats pràctiques, com per exemple per a definir amb gran precisió la posició d’un vaixell amb un marge d’error de poques desenes de metres.

La unitat de longitud

El metre va ser definit inicialment el 1799 com la deumilionèsima part d’un quadrant de meridià terrestre. Però això va ser fa molt temps, en una època en què no se sabia com prendre mesures precises de la longitud dels meridians. De manera que aviat es va recórrer a un patró artificial. De primer, es va tractar d’una barra de platí d’una longitud presumpta d’1/10 000 000 el quadrant de meridià, però la dificultat de mesurar la barra i la seva inestabilitat relativa van portar a utilitzar altres patrons diferents.

Des del 1905, Benoît, Fabry i Pérot van demostrar que era possible mesurar amb tècniques òptiques la llargària del metre patró i comparar-la amb la longitud d’ona d’emissió d’un àtom. Però va caldre esperar fins el 1960 per a obtenir resultats òptims i reproduïbles amb aquest tipus de mesuraments, resultats que van convèncer la Conferència General de Pesos i Mesures d’abandonar el prototip artificial del metre i definir-lo com un múltiple de la longitud d’ona d’una determinada transició de l’àtom de criptó 86Kr.

Però el 1983 també aquesta definició va ser substituïda per l’actual, segons la qual el metre és simplement la longitud del trajecte recorregut per la llum en el buit en 1/299 792 458 segons. Aquesta definició és el resultat d’un ingent treball científic i tecnològic que ha permès mesurar amb precisió extrema tant la longitud d’ona com la freqüència d’una mateixa radiació, utilitzant una sèrie de làsers estabilitzats i units entre ells. La unitat de mesura actual és indubtablement més complicada que una simple barra de platí, però en canvi és possible conèixer-ne la longitud de manera molt més precisa.

Una darrera observació: per què, en les definicions de metre i segon, s’empren números tan complexos com 299 792 458 o 9 192 631 770 en comptes d’1 o 108? El motiu és força senzill. En aquestes redefinicions d’una unitat de mesura es persegueix no solament que la nova unitat sigui més estable, més fàcil de traslladar i mesurable amb més precisió que l’antiga, sinó també que sigui equivalent a l’antiga amb la major precisió possible. Altrament, canviar una unitat voldria dir canviar també totes les mesures ja fetes de totes les magnituds del món, cosa que sens dubte suposaria haver de pagar un preu exageradament alt!

La velocitat de la llum

Des de l’any 1983 ha esdevingut impossible "mesurar" la velocitat de la llum. Per què? Perquè des del 1983 es defineix el metre com la distància que recorre la llum en el buit en 1/299 792 458 segons. Per tant, la velocitat de la llum és exactament 299 792 458 m/s. Exactament, és a dir, sense error. Però, no diem que totes les mesures contenen algun error? Com és que ara diem que coneixem exactament el valor de la velocitat de la llum? Senzillament, perquè hem deixat de mesurar-la. El que es va fer el 1983 va ser revolucionari, ja que es va definir la unitat de longitud a partir de la unitat de temps, de manera que la velocitat de la llum és ara una constant universal... per definició!

És clar que per a poder fer aquest pas calia un convenciment teòric i experimental poderosíssim del fet que veritablement la velocitat de la llum és una constant universal. Aquest convenciment prové de la comprovació experimental i té el seu marc teòric en la teoria de la relativitat especial formulada per Albert Einstein el 1905, que permet encabir-hi còmodament la teoria de l’electromagnetisme tal i com l’havia formulada James Clerk Maxwell al segle XIX. Diguem de passada que fou la teoria de Maxwell, per la qual quedaven descrits de manera unificada els fenòmens elèctrics i els magnètics, la que permeté identificar la llum com a radiació electromagnètica d’un determinat rang de freqüències (vegeu "Electricitat i magnetisme").

Cal notar que la constància de la velocitat de la llum és un fet gens intuïtiu. En efecte, atès que considerem la llum composta de partícules que anomenem fotons, seria "lògic", per exemple, pensar que la velocitat de la llum que és emesa pels fars d’un cotxe en repòs hauria de ser menor que la que mesuraríem des de terra quan el cotxe corre a tota velocitat. Però no hi ha la més mínima diferència. Això és poc intuïtiu si ho comparem amb el fet que si caminem per un vagó de tren a una velocitat de, posem-hi, 4 km/h, en el sentit de marxa del tren, i si aquest es desplaça, diguem-ne, a 100 km/h, llavors la nostra velocitat respecte a terra serà de 104 km/h. Per què no passa el mateix amb la llum? L’explicació que dóna la teoria de la relativitat és que la veritable fórmula per l’addició de velocitats no és simplement la suma de les dues velocitats —nosaltres respecte al tren i el tren respecte a terra—, sinó una expressió que fa que si una de les dues velocitats és la de la llum, el resultat final sigui també la velocitat de la llum.

La velocitat de la llum és una velocitat sostre. Cap senyal portador d’informació pot propagar-se a una velocitat superior a la de la llum.

No hi ha cap paradoxa amb la constància de la velocitat de la llum. El que passa és que a velocitats elevades el món físic es comporta de manera diferent al que preveu la intuïció, que està basada en la nostra experiència quotidiana, on les velocitats són molt petites amb comparació a la de la llum. Però els elements poc intuïtius de la teoria de la relativitat especial no s’acaben aquí. Per donar-ne un altre tast, diguem que passen coses una mica estranyes amb el temps, de manera que dos successos que des del punt de vista d’un observador són simultanis, no ho seran des del punt de vista d’un segon observador que es mogui a una certa velocitat respecte del primer (vegeu aquest concepte a "El temps").

Remarquem també que va ser en el marc de la teoria de la relativitat especial que Einstein va escriure la famosíssima fórmula E = M c2, clau de l’equivalència massa-energia (vegeu "Matèria i energia"). Aquesta fórmula va obrir les portes a l’obtenció de grans quantitats d’energia mitjançant processos nuclears (amb exemples tan dramàtics com les bombes atòmiques i les termonuclears) i a la comprensió dels fenòmens que s’esdevenen a l’interior de les estrelles.

El naixement del metre i Catalunya

La història del naixement del metre és una història que transcorre, en part, a Catalunya. Fou després de la Revolució Francesa que, sota l’assessorament de l’Acadèmia de Ciències, l’Assemblea Nacional francesa prengué la decisió de definir el metre com la deumilionèsima part del quadrant del meridià terrestre. I es va acordar que, per tal d’obtenir-ne un patró, es mesurés la longitud de l’arc del meridià que va de Dunkerque a Barcelona. Però, per què aquest meridià? Doncs, entre altres raons, perquè passa per París. Els astrònoms francesos Jean Baptiste Delambre i Pierre-François Méchain van ser els encarregats de dur a terme el projecte.

Era el 1792 quan Méchain i alguns col·laboradors seus van començar a fer les preparacions topogràfiques a la regió pirinenca. Durant la seva estada en terres catalanes, Méchain va establir contacte amb erudits catalans com Agustí Canellas i Carreres, matemàtic, astrònom i religiós; Francesc Salvà i Campillo, metge, professor i investigador; i Antoni de Martí i Franquès, naturalista, matemàtic i astrònom.

Puigsacalm, Rocacorba, Matagalls, al Montseny, Sant Jeroni, a Montserrat, i finalment Montjuïc, a Barcelona, entre d’altres, són alguns dels referents geogràfics que es van utilitzar en aquesta empresa. Finalment, després de moltes penes i treballs, amb una guerra pel mig i tot, Delambre i Méchain van enllestir la feina. El 10 de desembre de 1799 naixia oficialment el metre.